9. Задачи теории случайных процессов

ПЗ – 4 ч, СРС – 1 ч.

Моделирование случайных процессов с заданной корреляционной функцией

10. Задачи генерации случайных чисел

ПЗ – 2 ч, СРС – 1 ч.

Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения.

Моделирование случайных величин (случайных чисел) с требуемыми законом распределения вероятностей и значениями его используются, как правило, т.н. псевдослучайные числа. Псевдослучайные числа в основных чертах подобны соответствующим случайным величинам, однако, формируются они с использованием детерминированных алгоритмов, именуемых генераторами (псевдо-) случайных чисел.

Равномерно распределенные случайные величины

Как правило, все алгоритмы формирования случайных величин основываются на использовании равномерно распределенных на некотором интервале случайных чисел. Затем эти числа преобразуются таким образом, чтобы обеспечить соответствие полученной случайной величины требуемому закону ее распределения. Т.о. от вычислительных качеств алгоритма формирования равномерно распределенных случайных величин существенным образом зависят генераторы всех остальные случайных величин.

Поскольку целочисленная арифметика изучена лучше, чем арифметика рациональных чисел, для моделирования равномерно распределенной случайной величины используется следующее соотношение:

,

где: и– целые числа;

– некоторая функция, отображающая множество целых чисел на себя.

Очевидно, описанный выше вычислительный алгоритм необходимо инициализировать целым неотрицательным числом .

Известно немало видов функции , но здесь мы рассмотрим лишь широко применяемый на практике метод Коробова. Вычислительный алгоритм выглядит следующим образом:

,

где: – большое простое число (например, 2027 или 5087);

– целое число, отвечающее условию:, где– целое число ();

– здесь оператор выделения целой части числа в скобках.

Генерируемое таким образом число с приблизительно равной вероятностью принимает значения на интервале от 1 до. При помощи нормировки и смещения получим произвольное равномерно распределенное рациональное число:

,

где и– соответственно, нижняя и верхняя границы интервала распределения генерируемой случайной величины.

Очевидно, что на любом интервале может быть сгенерировано счетное количество случайных величин (не более). Т.о., самое большее, на-й итерации генерируемая последовательность повторится. Следовательно, для генерации равномерно распределенных случайных величин в соответствии с приведенным выше алгоритмом необходимо выбирать целочисленный тип данных, обладающий максимальной длинной, а в качестве– максимальное простое число, представимое в этом типе данных.

Как правило, современные средства разработки приложений располагают датчиком случайных, равномерно распределенных стандартных чисел . Моделирование случайных величин, равномерно распределенных на произвольном интервале, может быть выполнено на основе использования значенийследующим образом:

.

Гауссовские случайные величины

В настоящем подразделе описаны несколько способов генерации гауссовских случайных величин с заданными математическим ожиданиеми дисперсиейна основе использования стандартных равномерно распределенных случайных величин.

Первый способ основывается на использовании свойства суммы случайных величин, связанного со стремлением закона ее распределения к гауссовскому:

.

Хорошее совпадение закона распределения случайной величины с гауссовским получается при. Однако, приведенное соотношение существенно упрощается при:

.

Основной недостаток данного способа генерации гауссовской случайной величины связан с тем, что для этой цели используется (12 или более) равномерно распределенных случайных величин. Т.о. производительность метода составляет.

Второй способ связан с использованием … и является наиболее предпочтительным с точки зрения простоты реализации:

,

где – случайная величина, распределенная по закону Рэлея:

.

Для генерации случайной величины используется только две равномерно распределенных случайных величины. Производительность метода т.о. составляет.

Наиболее высокой производительностью обладает третий способ генерации гауссовских случайных величин:

;

,

где нормирующий множитель определяется следующим соотношением:

.

При этом – сумма квадратов двух тех же самых равномерно распределенных случайных величини:

,

при этом гауссовские случайные величины могут быть построены только в случае, если. Именно на этой проверке приведенный алгоритм теряет часть своей производительности. Все возможные сочетания случайных величинипредставляют собой квадрат со стороной 2, а сочетания тех же вичин, удовлетворяющих условию проверки – круг с радиусом 1. Т.о. производительность алгоритма равна вероятности попадания случайного векторав упомянутый выше круг, что составляет.

Моделирование случайных гауссовских величин с произвольными значениями параметров также может быть выполнено на основе использования значений следующим образом:

.