3. Задачи теории конечного поворота

ПЗ – 4 ч, СРС – 2 ч.

Восстановление угла поворота

Восстановление параметров кватерниона

Сложение поворотов

Материал данного раздела излагается по методическому пособию [8].

Окончательно, матрица перехода между базисами ибудет иметь вид (по строкам записаны координаты ортов базисав базисе):

Сложение конечных поворотов

Предположим, что телу, имеющему неподвижную точку О, сообщается последовательно два поворота, задаваемые векторами (вокруг оси, определяемой единичным векторомна угол) и(вокруг осина угол). Угол между осями поворотов, меньший, обозначим, так что

,.

Необходимо описать такой вектор поворота (вокруг некоторой осина угол), который был бы эквивалентен по своему действию на твердое тело проследовательности поворотови.

Выражение для оси поворота – вектора будет иметь следующий вид:

Окончательно, с учетом определения вектора конечного поворота получим выражение, определяющие суммарный вектор конечного поворота :

Из этого соотношения следует, что сумма конечных поворотов некоммутативна (из-за наличия здесь векторного произведения ), т.е. результат последовательности поворотов,не эквивалентен результату последовательности поворотов,.

Сложение поворотов в терминах параметров Родрига-Гамильтона описывается т.н. кватернионнымпроизведением, результатом которого является кватернион:

Компоненты кватерниона могут быть выражены через компоненты кватернионов,с использованием следующих соотношений:

Выражение, позволяющее определить координаты вектора после поворота его с помощью кватернионавыглядит следующим образом:

,

или, учитывая выполнение условия для кватернионатакже можно записать:

,

где , а- сопряженный кватернион.

Вычитание поворотов

Выражение, определяющее поворот, к которому нужно прибавить , чтобы получить(т.е. найти разность поворотови), выглядит следующим образом:

Задачи

1. Преобразование СК с помощью кватерниона.Система координат, образуемая ортогональным базисом, совмещается поворотом, описываемым кватернионом(заданным в этой СК), с системой координат, также построенной на ортогональном базисе. Записать соотношения, переводящие орты первой СК в соответствующие орты второй СК, а также выражение, определяющее координаты вектора, заданного в СК, во второй СК.

2. Восстановление кватерниона.В некоторой СК заданы два несовпадающих вектора одинаковой длиныи. Определить кватернион, совмещающий эти векторы по кратчайшему расстоянию. Определить другой кватернион, совмещающий эти векторы не по кратчайшему расстоянию.

3. Восстановление угла поворота. При вращении вокруг векторасовмещаются векторыиодинаковой длины, составляющие содин и тот же угол. Определить величину угла поворота.

4. Восстановление поворота. Конечный поворот корпуса ЛА определяется совмещением двух пар несовпадающих векторов с попарно равной длиной, причём любые три из них некомпланарны. Построить кватернион, характеризующий данный поворот.

5. Ориентация системы координат оружия ЛА. Положение связанных осей ЛА относительно инерциальной СК задано кватернионом. Положение осей системы оружия на борту ЛА относительно связанных осей определяется совмещением двух несовпадающих векторови, заданных в связанной СК, по кратчайшему расстоянию. Определить кватернион, связывающий инерциальную СК и СК системы оружия ЛА.

6. Переход между системами координат с помощью кватернионов.Взаимная ориентация связанной и начальной стартовой СК определяется углами тангажа, рысканияи крена. Построить кватернион, позволяющий пересчитывать векторы из одной СК в другую.