Содержание

Содержание 2

Предисловие 3

1. Задачи векторного анализа 4

2. Задачи тензорного анализа 8

3. Задачи теории конечного поворота 11

4. Задачи теории автоматического управления 17

5. Задачи небесной механики (1) 22

6. Задачи небесной механики (2) 28

7. Задачи теории вероятностей 31

8. Задачи математической статистики 33

9. Задачи теории случайных процессов 36

10. Задачи генерации случайных чисел 41

11. Задачи статистической обработки измерений 43

12. Дополнительная литература 50

Предисловие

Настоящее пособие содержит методические указания для проведения практических занятий по дисциплине «Методы математического моделирования».

Тема каждого практического занятия содержит описание вычислительных методов и алгоритмов, примеров решения практических задач, а также задач, предназначенных для самостоятельного решения студентами.

1. Задачи векторного анализа

ПЗ –4 ч, СРС – 1 ч.

Операции над векторами

Системы координат. Преобразование координат. Сферические координаты

Задачи

1. Проверка условия видимости спутника. Неподвижный наблюдатель располагается на земной поверхности в точке с географическими координатами. Проверить, находится ли на некоторый момент временив зоне его прямой видимости спутник, имеющий координаты, заданные в геоцентрической инерциальной СК. Считать, что спутник находится в зоне видимости наблюдателя, если его высота над местным горизонтом превышает.

2. Построить переходную матрицу от СК к СК, определенных следующим образом:

3. Построить переходную матрицу от СК к СК, определенных следующим образом:

4. Построить переходные матрицы между:

а) топоцентрической СК (ось xнаправлена на север и лежит в МГП,y– в зенит,zдополняет систему до правой) и связанной СК (ориентация относительно стартовой определяется углами тангажа, рысканьяи крена):

б) топоцентрической СК (ось xнаправлена на север и лежит в МГП,y– в зенит,zдополняет систему до правой) и геоцентрической СК (осьxнаправлена в точку весеннего равноденствия на 01.01.2000,z– по направлению вектора угловой скорости вращения Земли,y– дополняет систему до правой) на некоторый момент времени;

в) скоростной СК (ось xсовпадает с вектором скорости ЛА,y– перпендикулярна осиxв плоскости симметрии ЛА,z– дополняет систему до правой) и связанной СК. Ориентация вектора скорости относительно связанной СК определяется углами атакии скольжения.

5. Построить соотношения, определяющие переход от географической СК (широта , долготаи высота) к геоцентрической СК (осьxнаправлена в точку весеннего равноденствия на 01.01.2000,z– по направлению вектора угловой скорости вращения Земли,y– дополняет систему до правой) и обратно.

2. Задачи тензорного анализа

ПЗ – 2 ч, СРС – 0 ч.

Ковариационная матрица в собственных осях

Расчет тензора инерции

Тензор инерции и эллипсоид инерции. Тензор инерции — в механике абсолютно твёрдого тела — величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с его угловой скоростью:

,

где – момент импульса;– угловая скорость;– тензор инерции.

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором

,

можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

,

где — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размерыи состоит из компонент центробежных моментов:

,

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :

Где — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины— главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

Откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на

и произведя замены:

,

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах :

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки, связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

Задачи

1. Момент инерции относительно произвольной оси.На некоторый момент времени заданы вектор угловой скорости вращенияи тензор инерции ЛАв одной и той же СК. Определить момент инерции ЛА при вращении вокруг мгновенной оси.

2. Проекция ковариационной матрицы. В некоторой 3-мерной СК задана ковариационная матрица своими координатами:

,

а плоскость, проходящая через начало координат, своим уравнением . Определить проекцию ковариационной матрицы на заданную плоскость.

3. Момент инерции ЛА по рысканию.Тензор инерцииJзадан в строительных осях ЛА:

.

Поворот от связанных к строительным осям определяет кватернион . Вычислить момент инерции ЛА по рысканию.