Аппроксимация функций.

Пусть величина у является функцией аргумента х, т.е. любой х из области определения поставлено в соответствие значение у. На практике часто неизвестна явная связь между у и х, т.е. невозможно записать эту связь в виде у=f(x). Иногда известная зависимость y=f(x) оказывается настолько громоздкой, что её трудно практически использовать.

Распространены случаи, когда вид связи между х и у неизв., но вязь задается таблицей значений {,}, т.е. дискретному множеству {} поставлено в соответствие множество значений ф-ции {} (i=0,1, … n)

На практике могут понадобится значения величины y при любом значении х из некоторой области.

Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации) ф-ций:

Данную ф-ю f(x) требуется аппроксимировать (приближ. заменить) некоторой ф-ей : отклонение от f(x) в заданной области было наименьшим. Ф-я наз аппроксимирующей.

Аппроксимация, при которой приближение строится на заданном дискретном множестве точек {}, называется точечной.

К ней относится интерполирование, среднеквадратичное приближение и др.

При построении приближения на непрерывном множестве точек (например на [ ]), аппроксимация называется непрерывной или интегральной.

Интерполирование.

Один из основных типов точечной аппроксимации, состоит в следующем:

для данной ф-ии y=f (x)

строим интерполирующую ф-ю (например, мн-н), принимающую в заданных точках теже значения , что и ф-я f(x), т.е.

, i=0,1,…,n (10.1)

При этом предполагается, что , т.е. среди значений называется узлами интерполяции.

Таким образом, близость интерполирующей ф-ии к заданной ф-ии сост. В том, что их значения совпадают в заданной системе точек. инт-ая ф-я может строиться сразу для всего рассм. инт-ла изменения х или отдельно для разных частей этого интервала. В первом случае говорят о глобальной инт-ии, во втором о кусочной (или локальной) инт-ии.

Рассмотрим в качестве ф-ции интерполяционный многочлен. При глобальной инт-ии, т.е. при построении одного мн-на для всего рассм. инт-ла изм-я х; для нах-я коэф-в мн-на необх. исп-ть все ур-я системы (10.1). Данная система содержит (n+1) ур-е, =>, с её помощью можно опр-ть (n+1) коэф-т. Поэтому max степень интерполяционного мн-на n, и мн-н принимает вид

(10.2)

Система ур-ий (10.1) при исп-ии в качестве мн-на (10.2) явл. СЛАУ относительно неизвестных коэф-в

Определитель такой системы наз. определителем Вандермонда. Можно показать, что опр-ль В. отличен от нуля, если при , т.е. если среди узлов инт-ии нет совпадающих. Решив систему (10.3) можно построить интерп. мн-н. Такой метод постр-я интерп. мн-на наз. методом неопределенных коэффициентов. Однако метод этот требует значит объема вычислений, особ. при большом кол-ве узлов.

При большом кол-ве узлов инт-ии в случае глобальной инт-ии получается высокая степень мн-на. Кроме того, табличные данные могли быть получены путем измерении и ошибки. Построение аппр-ой ф-ии с условием обязательного прохождения её графика через эти экспериментальные точки означало бы повторения допущенных при измерениях ошибок. Выход может быть найден путем выбор а такой ф-ции, график которой проходит близко от данных точек. Понятие «близко» уточняется при рассмотрении различных видов прибл-я.

Среднеквадратичное приближение.

На практике стараются подобрать аппр. ф-ю как можно более простого вида, например, многочлен степени n=1,2,3.

Мерой отклонения ф-ции от заданной ф-ции f(x) на мн-ве точек ( ( i=0,1,…,n) при среднеквадратичном приближении явл. величина S, равная сумме квадратов разностей между зн-ми аппрокс. и заданной ф-ии в данных точах:

Аппроксимирующую ф-ю нужно подобрать так, чтобы величина S была наименьшей. Иногда при построении приближений ставится более жесткое условие: требуется, чтобы во всех точках некоторого [a,b] отклонение аппроксимирующей ф-ии от ф-ции f(x) было по абс. величие меньше заданной в-ны :

В этом случае говорят, что ф-я равномерно приближает (аппрокс-т) ф-ю f(x) с точностью на [a,b]

Существует понятие абсолютного отклонения ф-ии от ф-ии f(x) на [a,b]:

,

По аналогии можно ввести понятие среднеквадратичного отклонения при среднеквадратичном приближении ф-ии:

Если проводить вычисления зн-ия мн-на (10.2) «в лоб», т.е. находить зн-я каждого члена и суммировать их, то при больших n потребуется выполнить умножений и n сложений. Это может привести к потере точности за счет погрешности округления. Для исключения возведения x в степень в каждом члене мн-н (10.2) и переписать в виде.

Прием, с помощью которого мн-н представляется в таком виде, наз. схемой Горнера.

Этот метод требует n умножений и n сложений:

1. Ввод n,{ }, х

2. , для i от n-1

3. до нуля с шагом –1

4. Вывод Р

Исп-е схемы Горнера для вычисления зн-ий мн-нов экономит машинное время, повышает точность вычисления за счет уменьшения погрешности округления.

Как правило, при решении разл. задач приходится вычислять зн-я элементарных ф-ий (тригоном., показательных, логарифмических и др.)

При ручном счете для выч-я зн-ий ф-ии можно исп-ть таблицы. Но в вычислениях на ком-ре ввод таблиц ф-ий в машину потребовал бы больших затрат памяти, а поиск нужного зн-я ф-ции – не простые для машины занятия. Поэтому для выч-я зн-ий ф-ий на ком-ре используют разложения этих ф-ий в степенные ряды.

Например,

Гиперболические sin и cos:

или

для x~0 для предотвр. потери точн-ти из-за вычитания близких величин лучше исп-ть степен. ряд.

Для вычисления на компьютере логарифмических ф-ий достаточно иметь программу вычисления lg по одному основанию, например натурального логарифма. Для выч-я lg по другому основанию можно ип-ть ф-лу

На практике, когда ис-т стандартные пр-мы для вычисления ф-ий, точность не задается. Учитываются все члены большие машинного нуля, а точность опр-ая погрешностями округлений.

Погрешности могут быть распределены неравномерно по рассматриваемому интервалу изменения аргумента. Одним из способов совершенствования алгоритма вычислений позволяющих более равномерно распределить погрешность по всему интервалу, явл. использование многочленов Чебышева:

(10.11)

И использовать следующее рекурсивное соотношение:

,

n=1,2…

или в тригонометрич. форме:

Нули (корни) мн-нов Чебышева на [-1;1] опр-т по ф-ле

Мн-ны Чебышева широко исп-т при аппр-ии ф-ий

*

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная(или кусочно-линейная) интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки (Xi;Yi) (i=0,1,…,n) соединяются прямолинейными отрезками, и ф-я f(x) приближается ломаной с вершинами в данных точках.

Ур-я каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (Xi-1;Xi), то для любого из них в качестве уравнения интерполяционного мн-на используется ур-е прямой, проходящей через 2 точки:

в виде

(10.13)

При использовании линейной интерполяции сначала нужно опр-ть интервал, в к-ый попадает значение аргументах, а затем подставить его в(10.13) и найти приближенное зн-е ф-ии в этой точке. Алгоритм линейной интерполяции:

1) Ввод

2) i=0

3)

Ввод

i=0

i=i+1

x <

Вывод у

*

Квадратичная (параболическая) интерполяция

В качестве интерполяционной ф-ии на [] принимается квадратичный трехчлен.

Ур-е квадратичного трехчлена.

Здесь 3 неизвестных коэф-та , для определения которых необходимы 3 ур-я. Ими служат условия прохождения параболы (10.14) через точки:

. Эти условия запишем в виде:

(10.15)

Но можно квадратичную интерполяцию (10.14) трактовать как глобальную с n=2 , а систему (10.15) как частный случай системы (10.3) алгоритм вычисления приближенного значения ф-ии с помощью квадратичной интерполяции аналогичен случаю линейной интерполяции, но вместо формулы (10.13) надо использовать (10.14) с учетом решения системы лин. ур-ий (10.15). Интерполяция любого проводится по трем ближайшим к ней узлам.

Пример: Найти приближенное зн-е ф-ии y=f(x) при х=0.32, если известна следующая таблица её зн-ий:

x	0,15	0,30	0,40	0,55
y	2,17	3,63	5,07	7,78

Воспользуемся сначало ф-лой линейной интерполяции (10.13) х=0.32 находится между узлами =0.30, =0,40.

Теперь используем формулы квадратичной интерполяции; составим систему ур-ий (10.15) с учетом ближайших к точке х=0.32

Узлов:

Соотв-но:

Имеем систему:

Решая эту систему, находим