Метод рямоугольников и трапеций

Простейшим методом численного интегрирования явл. метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой (13.9). В качестве точек могут выбираться левые () или правые () границы элементарных отрезков. Обозначая ; , получаем следующие формулы метода прямоугольников:

для левых границ

для правых границ

(14.2)

Широко распространенным и более точным явл. вид формулы прямоугольников, использующий значения ф-ии в средних точках элементарных отрезков – в полуцелых узлах:

(14.3)

i=1,…,n

Под методом прямоугольников обычно понимают последний алгоритм. Его еще называют методом средних.

В рассмотренных методах прямоугольников используется кусочно постоянная интерполяция на любом элементарном отрезке ф-ия f(x) приближается ф-ей, принимающей постоянные значения (константой). При этом площадь всё фигуры криволинейной трапеции – приближенно складывается из площадей элементарных прямоугольников.

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график ф-ии y=f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (Xi,Yi)

В этом случае площадь всей фигуры приближенно складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций.

Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

, i=1,…,n

Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:

прям-в: (14.5)

трапеций: (14.6)

Турчак, стр 89-90 пример исп-я этих формул при вычислении простейшего интеграла.

Погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения. Уменьшая шаг, можно добиться большей точности. Однако, увеличивая число точек не всегда возможно. Если –я задана таблично, приходится, как правило, ограничиваться данным мн-вом точек.

Увеличение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерп. мн-нов: рассмотрим 2 сп-ба: квадратичная интерп-я (м-д Симпсона и интерполирование с пом-ю сплайнов).

Метод Симпсона

Разобьем отрезок интерп-я [a,b] на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке подынтегр. ф-ю f(x) заменим интерп. мн-ном 2-ой степени, проходящий через точки

Сумма элементарных площадей может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая, что: , получаем

Просуммируем аналогичные выражения для всех элементарных :

Данное выражение принимается в качестве приближенного значения опред. интеграла.

Это соотношение наз. формулой Симпсона или формулой парабол.

Эту формулу можно получить и другими способами, напр. двукратным применением метода трапеций при разбиениях [a,b] на части с шагами h и 2h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций. Рассм. один из возможных алгоритмов вычисления определенного интеграла по методу Симпсона. В качестве исх. данных задаются границы отрезка интегрирования [a,b], погрешность , и формула для вычисления значений подыинтегр. ф-ии y=f(x)

Существую и другие методы числ. интегрирования так особо эффективным при строго ограниченном числе узлов явл. метод сплайнов, использующий интерп-ю сплайнами.