Лекции / L11

Многочлен Лагранжа

Перейдем к случаю глобальной интерполяции, т.е. к построению интерполяционного …..,единого для всего отрезка [].Для построения такого мн-на достаточно решить систему(10.3),однако этот путь неэффективен.

Будем искать интерполяционный мн-н в виде линейной комбинации ……. степени n:

(11.1)

Потребуем, чтобы каждый мн-н обращался в во всех узлах интерполяции, за исключением -го, где он должен быть равен 1.

(11.2)

Этим условиям отвечает мн-н вида (11.2) Действительно при числитель выражения (11.2) обращается в ; а в т.

Аналогично записываем

Подставить выр-я (11.2) и (11.3) в (11.1):

(11.4)

Эта формула определяет интерполяционный многочлен Лагранжа.

Единственность представления о многочлене (11.1) в виде (11.4) следует из единственности решения системы (10.3)

Из (11.4) можно получить выражения для линейной (n=1) и квадратной (n=2) интерполяций.

Многочлен Ньютона.

До сих пор не делалось никаких предложений о законе распределения узлов интерполяции. Рассмотрим случай равностоящих значений аргумента, т.е. ( h наз. шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения Ф-ии в узлах .Составим разности значений ф-ии:

Эти значения наз. первыми разностями ф-ии или разностями ф-ии первого порядка.

Вторые разности ф-ии:

Разности порядка К:

(11.5)

Конечные разности можно выразить через значения ф-ии.

Напр.:

(11.6)

Можно записать эту ф-лу и для значения разности в узле

Используя конечные разности можно определить :

Перейдем к построению интерполяционного мн-на Ньютона. Будем искать его в виде:

(11.7)

График многочлена должен проходить через заданные узлы, т.е

(

Эти условия используем для нахождения коэф-в мн-на:

Отсюда коэффициент :

,k=0,1,….,n

Подставляя эти выр-я в (11.7),получаем вид интерполяционного мн-на Ньютона:

(11.8)

Конечные разности могут быть вычислены по ф-ле (11.6)

Ф-лу (11.8) часто записывают в другом виде.

Введем переменную , тогда

С учетом этих соотношений ф-лу (11.8) можно записать в виде:

(11.9)

Это выражение наз. первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед. Оно может аппроксимировать данную ф-ю на всем отрезке изменения аргумента . Однако с точки зрения повышения точности расчетов (путем погрешностей округления) более целесообразно использовать (11.9)для вычисления зн-ий ф-ии в точках левой половины рассматриваемого отрезка.

Для правой половины отрезка разности лучше вычислять справа налево

, т.е t<0

В этом случае интервал мн-н Ньютона им. Вид и наз. вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад.

(11.10)

Пример применения интерполяционной ф-лы Ньютона при ручном счете см. Турчак стр.52-53

Мн-н Ньютона удобно применять, например, если количество узлов интерполяции постепенно увеличивается. При этом учет нового узла требует лишь вычисления одного дополнительного слагаемого в (11.9)и(11.10), в то время как при использовании многочлена Лагранжа требуется пересчитывать все слагаемые в (11.4)

Точность интерполяции

График интерполяционного мн-н проходит через заданные точки, т.е значения мн-на и данной ф-ии совпадают в узлах Если ф-я f(x) сама является мн-ном степени n, то имеет место тождество

В общем случае в точках, отличных от узлов интерполяции.

Эта разность есть погрешность интерполяции и наз. остаточным членом интерполяции формулы.

Оценим его значения.

Предположим, что заданные числа является значениями некоторой ф-ии в т.

Пусть эта ф-я непрерывна и имеет непрер. производные до порядка включительно. В этом случае остат. Член интерполяции мн-н Лагранжа им вид :

(11.11)

Здесь производная порядка ф-ии в некоторой точке .

Если max значение этой производной равно:

то можно записать формулу для оценки остального члена :

где (11.12)

Анализ поведения ф-ии показывает, что погрешность интерполяции в среднем будет тем выше, чем ближе точка Х лежит к концам отрезка .

Если использовать интерп. мн-н для аппроксимации ф-ии вне (так наз. эксполяция), то погрешность возрастает существенно.

Вид остаточного члена интерполяц. мн-на Ньютона в случае равностоящих узлов можно получить из (11.11):

Если предположить, что разность постоянная, то можно записать след. формулу остаточного члена первого интерполяц. мн-н Ньютона:

Подчеркнем еще раз!

один и только один интерполяционный мн-н при заданном наборе узлов интерполяции.

Формулы Лагранжа , Ньютона и др. порождает один и тот же мн-н (при условии, что вычисления проводятся точно). Разница лишь в алгоритме их построения. Правда, интерполяц. мн-н Лагранжа не содержит явных выражений для коэфф-в. Выбор способа интерполяции определяется различными соображениями: точностью, временем вычисления, погрешностями округлений и т.д. В некоторых случаях более предпочтительной может оказаться локальная интерполяция, в то время как построение единого мн-на высокой степени(глобальная инт-я) не приводит к успеху. Такого рода ситуацию в 1901г. обнаружил Рунге. Он строил на [-1,1] интерполяцию (Карл Давид Тольте) мн-ны с равномерным распределением узлов для ф-ии .

Оказалось что при возрастании степени интерп. мн-на последовательность его зн-ий расходиться для фиксир.

Положение в некоторых случаях м.б исправлено специальным распределением узлов интерполяции. Повышение точности интерполяции целесообразно производить за счет шага и специального расположения точек . Как мы уже говорили использование одной интерполяционной формулы большом числе узлов нецелесообразно. Такой интерполяционный мн-н существенно проявляет свои колебательные свойства и его значения между узлами могут значительно отличаться от значений интерполируемой Ф-ии. Одна из возможностей преодоления этого недостатка заключается в применении сплайн-интерполяции. Суть сплайн-интерполяции заключается в определении интерполирующей ф-ии по формулам одного типа для различных подмножеств и в стыковке значений ф-ии и ее производных на границах подмножеств.

Наиболее изученным и широко применяемым является вариант, в котором между любыми двумя точками строится лен-н степени :

,

который в узлах интерполяции принимает значения интерполируемой ф-ии и непрерывен в месте со всеми производными. Такой кусочек-непрерывный интерполяционный многочлен наз. сплайном. Его коэффициенты находятся из следующих условий в узлах сетки: должны быть равны значения сплайна и приближаемой ф-ии, а также n-1 приводные соответствующих многочленов, при этом подразумевается производные, взятые на соседних интервалах.

Максимальная по всем частичным отрезкам степень многочлена наз. степенью сплайна, разница между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной производной-дефектом сплайна(def от англ. Defect). Одним из наиболее распространенных интерполяционных сплайнов является кубический (def=1). Для вывода управления кубич.интерполяционного сплайна воспользуется его интерпретацией- мат моделью гибкого тонкого стержня из упругого материала (напр. Гибкой линейка).

Он проходит через значения ф-ии в узлах сетки т.е явл. Упругим бруском в состоянии свободного равновесия.

Его состояние описывается Ур-м

Четвертая производная

Между парой соседних узлов интерполяц. формула записывается в виде мн-на 3ей степени, к-ой удобно представить в виде:

(11.13)

, i=1,….,n

Для построения кубического сплайна необходимо построить n многочленов 3ей степени, т.е определить 4n неизвестных . Эти коэффициенты ищутся из условий в узлах сетки. По определению в узлах сетки сплайн(11.3)должен принимать табличные значения ф-ии

Здесь (11.14)

Система(11.14) содержит 2n Ур-ий. Дополнительные Ур-я можно получить, если потребовать непрерывности 1ой и 2ой производных ф-ии S(x) во внутренних узлах сетки при , (i=1,….,n-1)

Получим еще (2n-2) ур-ий:

(11.15)

Недостающие 2 ур-я можно получить из граничных условий предполагая нулевую кривизну сплайна на концах отрезка. Приравнивая значения 2ой производной в точках и к , получим 2 недостающих ур-я

(11.16)

Заметим, что граничные условия (11.16)дают погрешность 0 вблизи границы. Поэтому вместо них можно брать условие непрерывности в двух внутренних (приграничных) узлах. Если другие условия поведения ф-ии в точках то ур-я (11.16)будет другим т.о имеет систему (11.14)-(11.16) для отыскания 4n неизвестных

(i=1,….,n)

Ее удобно решать, проведя предварительно следующие преобразования.

Коэф-ты получается сразу из решения (11.14). Из (11.15),(11.16) имеем

i=1,….,n (11.17)

Подставляя (11.17) в (11.14) и заменяя в нем на , получаем

(11.18)

Из Ур-ий (11.15) имеет

или (11.19)

Пологая в первом выражении (11.18) в (11.19) приходим к системе Ур-ий относительно

(11.20)