Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1305 вузов, 5165 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Тульский Государственный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Scad_литература / SCAD_book.pdf
Скачиваний:
260
Добавлен:
10.05.2015
Размер:
4.55 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

1 4 . С п е к т р ы о т в е т а

14.Спектры ответа

14.1Расчет на сейсмические воздействия

Выведенный из положения равновесия линейный неконсервативный осциллятор совершает затухающие колебания, которые описываются дифференциальным уравнением

&&

&

2

x = 0,

(14.1)

x

+ 2ϕω x + ω

 

где

ω – собственная круговая частота системы без затухания (рад/с);

ϕ – относительное демпфирование. При ϕ < 1 решение уравнения (1) имеет вид

x = Ae−ϕωt sin(ωD t + α) ,

где

ωD = ω 1 − ϕ2 – частота с учетом затухания,

А, α – коэффициенты, которые зависят от начальных условий.

Обычно для строительных конструкций ϕ<<1 и практически ωD ≈ ω .

Если на массу действует сила F(t), то ее перемещения описываются уравнением

&&

&

2

x = F(t) / m,

(14.2)

x

+ 2ϕω x + ω

 

общее решение которого при нулевых начальных условиях можно записать с помощью интеграла Дюамeля

 

1

t

 

 

x =

∫F(t )exp[−ρω(t − z)]sin ωD (t − z)dz

(14.3)

mωD

0

 

 

 

При движении основания с ускорением

&&

(t)

 

x 0

(кинематическое возмущение) на массу m действует

переносная сила инерции F(t) = −m x

0 (t) . Поэтому

&&

 

уравнение, описывающее относительные перемещения массы в системе координат, связанной с основанием, имеет вид

 

 

 

&&

 

 

&

 

+ ω

2

 

&&

(t) ,

(14.4)

 

 

 

x

+ 2ϕω x

 

x = −x 0

а его решение

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = −

1

 

t

&&

 

 

−ϕω( t −z)

sin ωD (t − z)dz

(14.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

x(t)e

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x

α

При определении

 

абсолютного ускорения

массы

= x + x

0 получаем при обычных малых значениях ϕ, что

&&

 

&&

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&&

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

(14.6)

 

 

 

x

α ≈ −ωD x

 

 

 

 

 

 

Нами рассматриваются колебания линейных

1

1 4 . С п е к т р ы о т в е т а

дискретных систем со многими степенями свободы, полученные из любых континуальных или комбинированных систем после применения к ним процедуры дискретизации метода конечных элементов (МКЭ). При этом решается

система обыкновенных дифференциальных уравнений

 

[

M

]{ }

+

[

K

]{ }

=

{ }

(14.7)

 

u&&

 

u

0 ,

где {u} – вектор перемещений; [M] – матрица массы;

[K] – матрица жесткости.

Вынужденные колебания линейной дискретной системы с затуханием по гипотезе Фойгта-Кельвина описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений

[M]{u} + [C]{u} + [K ]{u} = {F(t)} ,

(14.8)

&&

&

 

где [C] – матрица диссипации энергии; {F(t)} – вектор нагрузки.

В случае кинематического возмущения в качестве нагрузки выступают переносные силы инерции и система уравнений (14.8) записывается в виде

[M]{u} + [C]{u} + [K ]{u} = −[M]{I} x

0 (t) , (14.9)

&&

&

&&

 

где {u} – вектор относительных перемещений (например, в системе координат xOy, связанной с основанием);

{I} – вектор, компонентами которого являются косинусы углов между направлениями перемещений по координатам и вектором ускорения основания;

x&&0 (t) - ускорение основания.

Решение уравнения (14.9) отыскивается в виде разложения его по формам собственных колебаний системы (так называемая “модальная суперпозиция”)

 

 

 

n

 

 

 

 

 

{u} = ∑{Φj } Ψj (t) ,

(14.10)

 

 

 

j=1

 

 

 

где

 

n – число степеней свободы системы (учитываемых

собственных чисел и векторов);

 

 

 

Φj –

j-я форма собственных свободных колебаний

дискретной системы;

 

 

 

 

 

Ψj (t)

– неизвестные функции

времени, которые

необходимо определить.

 

 

 

 

 

Будем предполагать, что для матрицы диссипации [С]

выполняется условие

 

 

 

 

T

 

0

, i ≠ j

 

 

 

{Φi }

 

[C] {Φj } =

ϕi ωi {Φi }

T

[M] {Φi },

i = j

 

 

 

2

 

где ωi – i-я собственная частота дискретной системы.

После подстановки (14.10) в (14.9) и умножения (14.9)

на вектор {Φi }T для

нахождения

Ψi (t)

получаем

дифференциальное уравнение

 

 

 

 

&&

2

Ψi

= −D i x

0 (t) ,

(14.11)

Ψ + 2ϕi ωi Ψi

+ ωi

 

 

 

&&

 

 

2

1 4 . С п е к т р ы о т в е т а

где

D i =

{Φi }T

[M]{I}

 

&&

0 (t)

 

 

 

{Φi }T [M]{Φi

}

x

 

 

 

 

Для определения инерционных нагрузок на конструкцию необходимо знать абсолютные ускорения ее точек:

{ua} = {u}

 

n

 

 

 

n

 

 

&&

 

 

&&

+ {I}x0(t) = ∑{Φi }(Ψj (t) +Di x

0(t))= ∑{Φi }Ψja(t)

&&

&&

&&

 

 

 

&&

 

 

 

 

i=1

 

 

 

i=1

 

Сейсмические колебания дискретных систем описываются

 

&&

&

 

& &&

&

&&

& &&

[M]{u}+[C]{u}+[K]{u}=−[M]({Ix}x0(t) +{Iy}y0(t) +{Iz}z0(t) , (14.12)

где

x

0 (t) , y

0 (t) и

z0 (t)

–

компоненты расчетной

 

&&

&&

 

&&

 

 

 

акселерограммы. Если какая-либо из компонент не учитывается, то соответствующая часть нагрузки из (14.12) исключается.

3

1 4 . С п е к т р ы о т в е т а

14.2 Поэтажные акселерограммы и спектры ответа

При анализе сейсмостойкости оборудования необходимо определить действующие на него инерционные сейсмические нагрузки. Принят метод раздельного рассмотрения сейсмических колебаний здания и оборудования с использованием так называемых поэтажных акселерограмм и поэтажных спектров ускорений – акселерограмм и спектров, рассчитанных для точек крепления оборудования.

Расчет производится следующим образом:

•определяются (вычисляются) вынужденные колебания сооружения при сейсмическом воздействии, заданном расчетной акселерограммой на грунте;

•определяются законы изменения абсолютных ускорений выбранных точек конструкции;

•принимая акселерограммы в качестве возмущающего воздействия, рассчитывают вынужденные линейные колебания линейных неконсервативных осцилляторов, и находят зависимость модулей их максимальных абсолютных ускорений от их собственных частот и коэффициентов диссипации.

Таким образом, для каждой исследуемой точки решается уравнение (2), в котором:

•зафиксирован коэффициент диссипации ϕ;

•нагрузкой является вычисленное возмущающее воздействие от расчетной акселерограммы;

•наборы собственных частот осциляторов при расчете спектра ответа зафиксированы и приведены в таблице

14.1.

 

 

Таблица 14.1.

Частотный диапазон (гц)

Приращения (гц)

0.2

– 3.0

0.10

3.0

– 3.6

0.15

3.6

– 5.0

0.20

5.0

– 8.0

0.25

8.0

– 15.0

0.5

15.0 – 18.0

1.0

18.0 – 22.0

2.0

22.0 – 34.0

3.0

К приведенным в табл. 14.1 значениям частот неконсервативных осцилляторов добавляются еще собственные частоты рассчитываемой конструкции. Это делается для того, чтобы учесть возможность резонанса с ними.

Для каждого указанного осцилятора находятся решения на всем диапазоне действия акселерограммы и выбирается максимальное по абсолютной величине, которое и является спектром ответа данной точки на действие данной акселерограммы.

4

Соседние файлы в папке Scad_литература
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности