6. Резолюция в общем случае

Чтобы применить резолюцию к предложениям, содержащим переменные, необходимо найти такую подстановку, которая, будучи примененной к родительским предложениям, позволит получить дополнительные литералы.

Пусть предполагаемые родительские предложения даются в виде множества литералов {L_i} и {M_i} (дизъюнкция между литералами в множестве подразумевается) и пусть переменные в этих двух родительских предложениях разделены. Предположим, что {l_i} является подмножеством {L_i}, а {m_i} – подмножеством {M_i} – таким, что для объединения множеств {l_i} и {m_i} существует НОУS. Тогда говорят, что два предложения {L_i} и {M_i}разрешаются,и что новое предложение является ихрезольвентой.

Если два предложения разрешаются, то они могут иметь более одной резольвенты, т.к. может иметься более чем один способ выбора {l_i} и {m_i}.

Рассмотрим два предложения:

P(x,f(A))P(x,f(y))Q(y)

P(z,f(A))Q(z)

Если {l_i} = {P(x,f(A))} и {m_i} = {P(z,f(A))}, получаем резольвенту

P(z, f(y))  Q(z)  Q(y), S = {z/x}.

При {l_i} = {P(x, f(A)), P(x, f(y)) и {m_i} = P(z, f(A))} получаем резольвенту

Q(A)Q(z),S= {z/x,A/y}.

Заметим, что в последнем случае два литерала в первом предложении слились при выбранной подстановке в один, дополнительный к некоторому частному случаю из литералов второго предложения.

Всего имеется три различные резольвенты для этих предложений. Две из них получаются резолюцией на P, а одна – резолюцией наQ.

Можно доказать, что резолюция является логичным правилом вывода, т.е. что резольвента пары предложений также логически следует из этой пары предложений.

Резолюция используется в системе доказательств теорем специального вида и называется системой опровержения. При этом она является полной, т.е. любая ППФ, логически следующая из некоторого множества ППФ, может быть выведена из этого множества с использованием опровержения, основанного на резолюции.

7. Система опровержения на основе резолюции.

В типичной задаче на доказательство теорем имеется множество Sправильного построенных формул, исходя из которого нам нужно доказать некоторую целевую ППФW. Системы, основанные на резолюции, предназначены для создания доказательства путем построения противоречия илиопровержения. При таком опровержении сначала берется отрицание целевой ППФ и добавляется к множествуS. Это расширенное множество преобразуется в множество предложений (клаузальная форма), после чего резолюция используется при попытке вывести противоречие, представляемое пустым предложениемNIL.

Пусть имеется множество S, состоящее изnППФA₁,A₂, …,A_nи пусть ППФ, для которой требуется выяснить, является ли она теоремой, естьW. Следовательно, можно сказать, что доказательство показывает справедливость (истинность) ППФ вида

(

(2.1)

A₁  A₂  …  A_n  W)

при любой интерпретации.

Или, что эквивалентно, отрицание формулы (2.1) при любой интерпретации является ложью:



(2.2)

(A₁  A₂ … A_n  W)

Поскольку (2.2) является ППФ, ее можно преобразовать к форме клаузального множества, которое назовем Q.

Основная идея метода резолюции состоит

1) в проверке того, что содержит ли Qпустое предложение.

2) в проверке того, выводится ли пустое предложение из Q, если оно вQотсутствует.

Любое предложение C_iиз которых образуетсяQявляется совокупностью атомарных предикатов или их отрицаний, соединенных символом дизъюнкции:

C

(2.3)

_i = P_i1  P_i2  …  P_im

Само же множество Qявляется конъюнктивной формой:

Q = C₁  C₂  …  C_k.

Следовательно, условием истинности всех C_iв совокупности является условие истинности всехC_iв совокупности, и, наоборот, условием ложностиQявляется ложность по крайней мере одногоC_i. ПосколькуC_iимеет вид (2.3), условием, чтоC_iв какой – либо интерпретации будет ложным, является то, что множество {P_i1,P_i2, …,P_im} будет пустым.

Следовательно, если Qсодержит пустое предложение, то формула (2.2) является ложью, поэтому формула (2.1) является истинной. Это означает чтоWлогически следует из группы предикатовA₁,A₂, …,A_n, т.е. изS.

Рассмотрим простой пример такого процесса. Предположим, высказаны следующие утверждения:

1. Кто умеет читать, тот грамотный (x)(Ч(x)Г(x))

2. Дельфины не грамотны (x)(Д(x)Г(x))

3. Некоторые дельфины обладают интеллектом (x)(Д(x)И(x))

Из этих посылок мы хотим доказать следующее утверждение:

4. Некоторые из тех, кто обладает интеллектом не умеет читать

(x)(И(x)Ч(x))

Множество предложений, соответствующих утверждениям 13 таково:

1. Ч(x)Г(x)

2. Д(y)Г(y)

3а. Д(А)

3б. И(А)

Переменные в выражения разделены и А – сколемовская константа.

Отрицание теоремы, которую требуется доказать, преобразованное к форме предложения имеет вид:

4. И(z)Ч(z)

Чтобы доказать теорему опровержением на основе резолюции, необходимо построить резольвенты для предложений (14), добавить эти резольвенты кбазовому(первоначальному) множеству и продолжать таким же образом, пока не будет получено пустое предложение. Одно из возможных доказательств (их имеется более одного) создает следующую последовательность резольвент:

5. Ч(A) резольвента 3а и 4

6. Г(А) резольвента 5 и 1

7. Д(А) резольвента 6 и 2

8. NILрезольвента 7 и 3а