3. Клаузальная форма (форма предположений)

После проведения сколемовских преобразований результирующая ППФ представляет собой несколько предикатов, содержащих переменные и соединенных различными связками. Такая безкванторная форма называется матрицей. Любую матрицу можно привести к конъюнктивной нормальной форме (КНФ) многократным применением дистрибутивных правил. Чтобы привести матрицу к клаузальной форме или форме предложений, исключают символы, заменяя выражения вида (x₁x₂) на множество ППФ {x₁,x₂}. Результатом многократного использования таких замен будет некоторое конечное множество ППФ, каждая из которых является дизъюнкцией литералов. Любая ППФ, состоящая только из дизъюнкций литералов, называетсяпредложением. Множество предложений, полученных в результате исключения символаназывается клаузальным множеством.

После исключения символов необходимо осуществить переименование переменных. Символы переменных должны быть изменены так, чтобы каждый появлялся не более чем в одном предложении.

Следует отметить, что литералы в предложениях могут содержать переменные, но всегда подразумевается, что они относятся к кванторам общности. Если вместо переменных некоторого выражения подставляются термы, не содержащие переменных, то получаем так называемый основнойчастныйслучайлитерала. ТакQ(A,f(g(B))) является основным частным случаемQ(x,y)/

Когда резолюция используется в качестве правила вывода в системе доказательства теорем, то множество ППФ, исходя из которого мы хотим доказать теорему, сначала преобразовывается в совокупность предложений. Можно доказать, что если ППФ Xлогически следует из некоторого множестваSправильно построенных формул, то она также логически следует из множества предложений, получаемых в результате преобразования ППФ изSв форму предложений.

Следовательно, для наших целей предложения являются вполне общей формой, в которой выражаются ППФ.

4. Резолюция для основных предложений

Общее представление о правиле вывода с использованием резолюции лучшего всего рассмотреть на примере того, как она применяется в случае основных предложений.

Пусть имеются два основных предложения (т.е. предложения не содержащие переменных): P₁P₂…P_NиP₁Q₂…Q_M. Считаем, что всеP_iиQ_jразличны. Отметим, что эти предложения содержатдополнительныелитералы(литералы, которые взаимно отличаются только символом отрицания).

Из этих двух родительскихпредложений можно вывести новое предложение, называемое их резольвентой. Резольвента вычисляется взятием дизъюнкции этих предложений с последующим исключением дополнительной (контрарной) пары:P₁,P₁.

Некоторые основные частные случаи резолюции приведены в таблице. Из этой таблицы видно, что резолюция позволяет объединить несколько операций в одно простое правило вывода.

Предложения и резольвенты

Родительские предложения	Резольвенты	Комментарии
PиPQ(т.е.PQ)	Q	Модус поненс
PQиPQ	Q	Предложение QQ"сворачивается" вQ. Эта резольвента называется слиянием.
PQиPQ	QQ PP	Здесь две возможные резольвенты; в данном случае обе являются тавтологиями.
PиP	NIL	Пустое предложение, является признаком противоречия
PQиQR(т.е.PQиQR)	PR (т.е. PR)	Цепочка.