Математические методы теории доказательств. Автоматизация процесса логического вывода.

1. Семантика логики предикатов

Определение логической формулы в логике предикатов – это правила построения сложных предложений из простых предложений и синтаксических единиц, включающих описание отношений между основными понятиями атомарных предикатов. Эти правила соответствуют синтаксическим правилам естественного языка.

Таким образом, формулы логики предикатов строятся как символьные системы совершенно безотносительно к понятиям описываемого мира.

Очевидно, что между понятиями описываемого мира и предикатными формулами должно быть установлено соответствие. Такое определение соответствия предполагает следующие действия.

1. Установление соответствий между константами логики предикатов и сущностями описываемого мира (константы принимаются за имена объектов).

2. Установление соответствия между формулами логики предикатов и функциональными отношениями описываемого мира.

3. Установление соответствия между атомарными и концептуальными отношениями этого мира.

При выполнении действий, предусмотренных в пунктах (2) и (3) должно быть установлено число и назначение всех причастных к логическим формулам сущностей с их числом и назначением в описываемом мире.

Кроме того, требуется задать значение "истина" и "ложь" в зависимости от выполнения или невыполнения концептуальных отношений, описанных логическими формулами. Таким образом, в язык вносится конкретное смысловое содержание.

В формулы логики предикатов входят переменные семантически ограниченные кванторами ии не ограниченные ими переменные.

Логическая формула, в которой все переменные являются связанными (замкнутая формула), называется предложением. Предложениям можно однозначно поставить в соответствие какое – либо определенное значение - "истина" или "ложь". Ложность или истинность предикатной формулы, содержащей свободные переменные, можно оценить только тогда, когда в эти переменные будут подставлены некоторые сущности (формула обратится в высказывание). Значение предикатной формулы со связанными переменными можно определить, не производя такой подстановки. Например, (y)(x)отец(x,y) – "у каждого человека (у) имеется отец(x)" является истинной, а (x)(y)отец(x,y) – "все люди (x) имеют детей (y)" является ложью. Таким образом, предложение имеет такие же свойства, что и высказывание, не содержащее переменных.

Поставив в соответствие словам языка те понятия, которые познаются в реальной действительности, можно средствами этого языка передавать познанные понятия.

Рассмотрим пример представления в исчислении предикатов следующего высказывания.

Для каждого множества xсуществует множествоyтакое, что мощностьyбольше чем мощностьx:

(x){множество(x)(y)(u)(v)[множество(y)мощн(x,u)мощн(y,v)G u,v)]} (предикат G(,) означает >)

Кроме того, возможно получать значения неизвестных логических формул, используя для этого уже оцененные формулы.

Например, если заданна группа логических формул:

(x)[человек(x)смертен(x)] – все люди смертны,

человек(Сократ) – Сократ – человек,

то используя правила вывода можно получить заключение (неизвестную логическую формулу):

смертен(Сократ).

(Вместо переменной xбыла вставлена константа "Сократ").