Исчисление высказываний

Эта формальная система, которую называют также логикой высказываний или пропозициональной логикой, определяется следующим образом.

1. Алфавит:

• Пропозициональные буквы р, q, т, s, t, ...:

• Логические операторы , (читаются соответственно "не" и "влечет, следует");

• Скобки (,);

2. Построение формул (или пропозициональных форм):

• Любая пропозициональная буква суть формула.

• Если m есть формула, то и (т) также является формулой.

• Если т есть формула, то и т также является формулой.

• Если т₁ и т₂ являются формулами, то и выражение т₁  т₂ также является формулой.

3. Аксиомы:

(А1) (т₁  ( m₂  т₁)).

(А2) (т₁  ( m₂  т₃))  ((т₁  т₂)  ( m₁  т₃))

(A3) (m₂  m₁)  (т₁  т₂)

Здесь т₁, m₂ и т₃ являются пропозициональными формами или формулами.

4. Одно правило вывода (правило модус поненс, или правило отделения):

Если т₁ и (т₁  т₂) суть теоремы, то т₂ есть следствие т₁ (т. е. т₂ выводимо из т₁). Формально это правило записывается следующим образом:

(т₁) и (т₁  т₂) т₂.

Начиная с момента создания этой формальной системы, использовалась ее интерпретация, моделирующая рассуждения обычной логики, где буквы рассматриваются в качестве выражений. Так, в частности, в этом смысле оператор  является отрицанием, а оператор  — логической импликацией. Надо отметить, что в исчислении высказываний ни аксиомы, ни единственное правило вывода не используют специальных пропозициональных букв. Поэтому последние являются полностью взаимозаменяемыми, так что если, например,

|— (p  q)  (r  s), то и |— (t  s)  (q  r)

В исчислении высказываний разрешено вводить любые новые пропозициональные буквы, называемые свободными переменными. В этой системе не имеется констант. В ней могут использоваться другие символы, кроме заданных выше, например логическое И, обозначаемое символом . Такие символы могут быть определены в рамках данной формальной системы: т₁т₂ по определению эквивалентно формуле (т₁  т₂). Логическое ИЛИ, обозначаемое символом V, определяется аналогично: т₁Vт₂ эквивалентно формуле (т₁т₂). Логическая тождественность или эквивалентность, обозначаемая символом , определяется следующим образом: т₁т₂ по определению эквивалентно формуле (т₁  т₂)( m₂  т₁).

Рассматривая эти определения с общей точки зрения, можно заключить, что они обогащают первоначально введенную формальную систему, которая отражает обычные законы дедуктивного мышления. В частности, можно отметить, что три закона логики, сформулированные Аристотелем, в рассматриваемой формальной системе являются строго доказуемыми. К этим законам относятся следующие:

• закон тождества, или (р  р),

• закон исключения третьего, или (р V р);

• закон противоречия, или (р  р).

Последний закон гласит, что никакая теорема не может одновременно являться и теоремой, и не-теоремой.

В качестве примера доказательства в исчислении высказываний приведем доказательство приведенного выше закона тождества: "Для всякого р выполняется р  р". Формула

(p  ((р  р)  p)) (Т1)

является аксиомой и, следовательно, теоремой (T1). Она соответствует аксиоме (А 1), где формула т₂ представлена цепочкой символов (р  р), а формула т₁ —цепочкой из одного символа р. Аксиома (A2) позволяет представить в качестве теоремы следующую формулу:

((p  ((р  р)  p))  ((p  ((р  р))  ((р  р))) (T2)

где (р  р) соответствует

Теперь первая формула построена: теорема (T1) суть первая часть, заключенная в скобки в (T2). Правило модус поненс утверждает, что

|—((p  (р  р))  (р  р) . (ТЗ)

Итак, сама формула (p  (р  р)) в соответствии с аксиомой (A1) при подстановке р вместо т\ и тч представляет собой теорему. Правило модус поненс, примененное еще раз, приводит к теореме (T4)

|—(р  р). (Т4)

Эта формула уже точно выражает закон тождества. Другие основные теоремы доказываются аналогично в несколько этапов:

р р;

(р V q)  (pq);

(р  q)  (р V q).

Теорема (р  q)  (р V q) утверждает, что доказательство формулы (р  q) эквивалентно доказательству формулы (р V q). Это принцип рассуждения от противного (см. принцип резолюции в разд. 10).

Для исчисления высказываний могут быть получены некоторые метатеоремы так же просто, как и для формальной системы (JP) Таким образом,

p^2k p;

(p и q) pq;

(р  q) и (q  r)(р  r).

Отметим, что в этих последних выражениях “и” относится к элементам металингвистики и не является формулой исчисления высказываний. Это то же самое "и", которое проявлялось в определении правила модус поненс. Символ "и", в частности, не есть то же самое, что символ  в исчислении высказываний, так (р  q) и (q  r) означает на самом деле, что имеются две теоремы(р  q) и (q  r).

Такие теоремы полезны и даже необходимы для упрощения доказательств. В частности, они позволяют создавать новые правила вывода.

Важные замечания об обычных способах записи формул. Из-за недостатков, присущих нашему обычному языку, общепринятой является запись теорем в краткой форме: Н  С (гипотеза имплицирует заключение) вместо того. чтобы использовать корректную форму записи (Н и Н  С)  С.

Символ "двойная стрелка" () обычно используется для обозначения некой конкатенации логического оператора  исчисления высказываний и оператора , принадлежащего метауровню описания этой формальной системы, который уже включает правило модус поненс.

Много исследований, связанных с исчислением высказываний, было проведено начиная со времен Аристотеля. В 1910 г. Уайтхед и Рассел дали, наконец, строгое формальное представление исчисления высказываний, а также доказали значительное число теорем, связанных с ним. Интересно отметить, что в их работах исчисление высказываний строилось не на трех, а на четырех аксиомах. Позже Ж. Лукасевич показал, что одна из аксиом является лишней, так как может быть выведена из трех остальных. Выше была описана именно эта форма задания исчисления высказываний с уменьшенным числом аксиом. При экономном подходе исчисление высказываний может быть построено таким образом, чтобы в нем использовался один оператор вместо двух, как определено выше. Таким оператором является "штрих Шеффера" (или дизъюнкция отрицаний), который обозначается вертикальной чертой и определяется следующим образом:

p|q  (р) V (q).

Символ | интерпретируется как несовместность высказываний. Ж. Нико, основываясь на использовании этого единственного оператора—связки, показал в 1917 г., что исчисление высказываний может быть построено на единственной аксиоме:

(p|(q|r))|(s|(s|s))|((t|q)|((p|t)|(p|t))).

Показано, что формальная система, использующая эту единственную аксиому и единственный оператор, порождает те же теоремы, что и первоначальное исчисление высказываний.

Э. Пост доказал в 1921 г. следующую теорему:

Формула F доказуема в исчислении высказываний, если и только если она является тождественно-истинной, т. с. истинной при всех интерпретациях исчисления высказываний.

Таким образом, исчисление высказываний характеризуется:

• непротиворечивостью, т. е. t и t не могут быть одновременно выводимы;

• полнотой, т. е. теоремы точно соответствуют тождественно-истинным формулам;

• разрешимостью, т. е. существует процедура решения.

Действительно, теоремы исчисления высказываний являются тавтологиями, т. е. высказывания принимают значения истинности, равные ИСТИНЕ, всякий раз, когда значения истинности ИСТИНА (0) или ЛОЖЬ (1) принимают все пропозициональные переменные, входящие в них.

Таблицы истинности, элементарных операторов определяются в соответствии с интуитивной интерпретацией. Ниже приведены таблицыистинностидля операторови.



p	1	0
p	0	1



р	1	1	0	0
q	1	0	1	0
рq	0	0	1	0

В определенной таким образом интерпретации исчисления высказываний выражение р  q имеет значение "ложь" только тогда, когда р истинно, а q ложно. Это выражение эквивалентно выражению p V q. Обычная интерпретация символа  как импликации достаточно неудачна, поскольку выражения р  и p V q являются истинными, лишь если р ложно (как говорится, из ложного можно вывести все, что угодно), а в обычной речи с этим связывается вывод о чем-то плохом, из-за чего возникают недоразумения.

Хорошо известный метод таблиц истинности был строго обоснован в 1932 г. Перстом: для того чтобы формула исчисления высказываний была теоремой, необходимо и достаточно, чтобы при интерпретации она принимала значение 0 (истина), каковы бы ни были значения пропозициональных переменных, входящих в нее.

Следует отметить, что в общем случае соответствие между теоремами и истинностными интерпретациями вовсе не является обязательным и рассмотренная выше формальная система (JP) является примером этого.

Фундаментальный вывод, состоящий в том, что исчисление высказываний является разрешимой формальной системой, представляет собой теорему уже уровня метасистемы, которую следовало бы построить. Чтобы строго установить этот резуль­тат, необходимо использовать рекуррентные рассуждения в строго формализованной форме на все более и более высоких уровнях. Построение этой последовательной мета-мета-... и т. д.-формальной системы мы здесь не приводим.

. Этот результат Поста представляет особый интерес, так как он выявляет адекватность исчисления высказываний классиче­ским логическим рассуждениям, а также понятиям обычного языка. Он утверждает, что мышление и его выражение с по­мощью языка формализуемы (по крайней мере частично) и представимы в краткой форме с помощью чисто символьные схем и представлений. Именно в этом ожидались наибольшие трудности в программе формализации математики, предложенной Гильбертом (1885 г.). И хотя данный этап был "пройден" с достаточной строгостью и элегантностью, в дальнейшем в теории чисел возникли серьезные трудности.