Доказательство и истинность

Из приведенных выше определений существует уже по построению глубокое различие между концепциями доказательства и истинности. Эти понятия относятся к двум различным областям. Априорно ничто не гарантирует, что всякое утверждение, истинное в обычном смысле слова, соответствует какой-то доказуемой формуле. Ведь не только то истинно, для чего у нас есть доказательство!

На самом деле имеются четыре варианта взаимоотношений между доказательством и значением истинности, поскольку формула, с одной стороны, может быть теоремой (обозначается символом Т на схеме, изображенной на рис. 3.1) либо не-теоремой (NT), а с другой стороны, ее интерпретация может быть истинной (V) либо ложной (F).

Первый вариант (Т, V), когда интерпретация истинна, не представляет проблемы. Если формула доказуема и соответствует определенной интерпретации, значение которой ложно, то такая интерпретация просто не представляет интереса.

Четыре класса сочетания теорем (т) и не-теорем (nt) и значений истинности истина (V) и ложь (f)

.

Рисунок 2.1

Вариант (Т, F) исключается из рассмотрения и может использоваться для определенной корректировки рассматриваемой формальной системы таким образом, чтобы с ней остались связанными только те интерпретации, значения которых истинны для всех теорем системы. Теперь рассмотрим варианты (NT, V) и (NT, F), соответствующие не-теоремам. Что касается варианта 4, то весьма желательно, чтобы значение "ложь" было бы присвоено всем не-теоремам; однако это не всегда возможно. Тем не менее наиболее часто используемые формальные системы относятся именно к этому случаю, как, например, логика высказываний (которую называют также пропозициональной логикой или исчислением высказываний).

Наиболее сложным является вариант (NT, V), когда не всегда можно избежать трудностей, заключающихся в том, что могут существовать не-теоремы данной формальной системы, которые в определенных интерпретациях являются истинными, причем такие интерпретации часто оставляются для рассмотрения. В качестве примера назовем знаменитое утверждение Ферма: "Для всякого целого п > 2, уравнение в целых числах xⁿ +yⁿ = zⁿ не имеет решения". Вполне возможно, что оно является истинным в обычной интерпретации, где используемые `символы имеют обычный арифметический характер. Это утверждение проверено с помощью ЭВМ, на которой оно просчитано до значений п= 10000. Однако остается возможность того, что оно недоказуемо в существующей арифметической аксиоматике. Еще более неприятным является тот факт, что существуют формальные системы, в которых класс формул (NT, V) не является пустым ни при какой интерпретации!

Сюда относится и проблема наличия ограничений формализмов. Одни из них связаны с формой представления (записи) интерпретации, в то время как другие ограничения от этого не зависят. Однако во всех случаях существует одна и та же проблема: исходя из аксиом и правил вывода, во-первых, как сделать хороший выбор исходных из них для быстрого получения доказательства конкретной формулы в качестве теоремы и, во-вторых, как доказать, что некая формула недоказуема в данной формальной системе? В общем случае проблема, поставленная таким образом, является неразрешимой.

Зная, что комбинаторные методы в нашем случае неэффективны, мы будем подходить к проблеме исследования формальных систем со строго формальной точки зрения, что позволит получить результаты, выявляющие формальные свойства формальных систем. В свою очередь это позволит значительно усовершенствовать и сами комбинаторные методы. Например, если в данной формальной системе не употребляется какая-то константа (например. А) ни в аксиомах, ни в правилах вывода, то она не может появиться и ни в одной теореме. Другим подобным примером является следующий: если никакое правило вывода данной системы не порождает формулы, более длинной (т. е. содержащей большее число символов), чем теорема, к которой оно применяется, то всякая теорема большего размера, чем аксиома, может быть удалена из рассмотрения. В этом случае всегда можно получить результат за конечное число шагов, так как дерево поиска уменьшено в этом случае до конечной величины Lⁿ, где L—число символов в алфавите, а п - длина доказываемой формулы.

Фундаментальная важность такой метатеории показана ниже при рассмотрении двух введенных ранее формальных систем, а также двух классических формальных систем: логики высказываний и исчисления предикатов первого порядка. Именно такой подход позволил трем великим математикам Черчу, Геделю и Тарскому получить к 1930 г. весьма общие результаты, относящиеся к формальным системам. Эти результаты рассмотрены в последующих разделах данной главы.