Примеры формальных систем

Пример 1. Формальная система (JP)

1. Алфавит  {а, b, }.

2. Формулы: символ или какая-либо последовательность символов а или b, или .

3. Одна аксиома: а  а.

4. Одно правило вывода: c₁  c₂ bc₁  bc₂. Принято, что в этом правиле вывода символы c₁ и c₂ означают какие-то последовательности символов а или b формальной системы (JP) и могут быть замещены любыми последовательностями символов а или b.

Символы c₁ и c₂ не являются символами формальной системы (JP) - они служат только посредниками для формализации правил вывода. Учитывая способ образования формул незамещаемые символы а и b называют константами, а незамещаемый символ  —оператором.

Из определения данной формальной системы непосредственно вытекает следующий способ получения допустимых формул, т. е. формул, выводимых согласно правилу п. 4 определения данной формальной системы: достаточно рассмотреть лишь все комбинации, получаемые при последовательном применении правила 4 к аксиоме 3 нашего примера. В результате мы имеем

а  а

b а  а b

b b а  а b b

b b b а  а b b b и т. д.

Очевидно, что, например, выражение baab  abba не могло бы быть допустимой формулой в данной формальной системе.

Пример 2. Формальная система (DH)

Д. Хофштедтер в своей объемистой книге "Гедель, Эшер, Бах — золотой венок вечности" прослеживает проявление идеи рекурсии и автоморфизма в логике, теоремах Геделя, информатике, странных рисунках Эшера, фугах, канонах и экспромтах Баха. Приводимая ниже формальная система (DH) взята из первой главы этой книги:

1. Алфавит: М, I, U.

2. Формулы: любая последовательность символов данного алфавита.

3. Одна аксиома: МI.

4. Правила вывода:

правило 1: mI  mIU (продукция);

правило 2: Mm  Mmm (продукция);

правило 3: IIIU (правило переписывания);

правило 4: UU (правило переписывания).

То, что правило 1 является продукцией, означает в данном случае, что оно применяется только, если последняя буква теоремы есть I. В этом случае, например, из теоремы MIUMIUMI выводится теорема MIUMIUMIU. Отметим, что символ m не принадлежит символам данной формальной системы, а просто играет роль некоего слова.

Правило 2 позволяет из теоремы MUI вывести теорему MUIUI при условии, что MUI является теоремой. Правило 3 позволяет, например, сделать переход от теоремы MUIIIUM к теореме MUUUM. Последнее правило 4 указывает, что всякая цепочка из двух рядом стоящих символов U может быть просто удалена из теоремы. Например, теорема MUUUUMM равнозначна теореме МММ. Ниже приводятся примеры использования правил вывода данной формальной системы:

а) М1 (аксиома);

б) MII (правило 2 применено к а);

в) МIIII (правило 2 применено к б);

г) MIIIIU (правило 1 применено к в);

д) MIUU (правило 3 применено к г);

е) МI (правило 4 применено к д).

Предлагается, используя правила вывода данной формальной системы, решить задачу, предложенную Д. Хофштедтером: получить теорему MU из исходной аксиомы данной формальной системы.

Разрешимость и интерпретация формальных систем

Первым вопросом, который возникает при задании формальной системы, является вопрос об инверсии, т. е. о том, возможно ли, рассматривая какую-либо формулу формальной системы, определить, является ли она доказуемой или нет. Другими словами, речь идет о том, чтобы определить, является ли данная формула теоремой или не-теоремой и как это доказать. В математике предполагается, что при задании формальной системы существует хорошо определенный способ действий, который за конечное число шагов позволит получить ответ на данный вопрос. Такой способ, если он существует, называется процедурой решения, а соответствующую формальную систему называют разрешимой. Однако основная трудность заключается в том, что такие процедуры существуют далеко нс всегда, даже для таких простых и фундаментальных теорий, как исчисление предиктов первого порядка. Причина этого состоит в следующем. Даже если применить правила словообразования (т. е. правила построения формул, правила вывода) последовательно ко всем возможным объектам формальной системы и формальная система такова, что имеется принципиальная возможность полного перечисления ее теорем (даже при бесконечном их числе), то все же не существует никакого подходящего способа в общем случае, чтобы, перечислить все не-теоремы.

В данном случае эту проблему нельзя решить и с помощью комбинаторных методов, так как если после какого-то числа проведенных операций еще не получено определенного ответа на вопрос о характере рассматриваемой формулы, то нет возможности определить причину этого: то ли рассматриваемая формула не является теоремой, то ли сама формальная система не является разрешимой. Поэтому говорят, что множество теорем формальной системы необязательно является рекурсивно перечислимым.

Формальные системы являются не просто игрой ума, а всегда представляют собой модель какой-то реальности (либо конкретной, либо математической).

Интерпретация представляет собой распространение исходных положений какой-либо формальной системы на реальный мир. Интерпретация придает смысл каждому символу формальной системы и устанавливает взаимно однозначное соответствие между символами формальной системы и реальными объектами. Теоремы формальной системы, будучи однажды интерпретированы, становятся после этого утверждениями в обычном смысле слова, и в этом случае уже можно делать выводы об их истинности или ложности.

Отметим, что речь идет о замыкании или логическом завершении понятия математического подхода. Вначале математик изучает реальность, конструируя некоторое абстрактное представление о ней, т. е. некую формальную систему. Затем он доказывает теоремы этой формальной системы. Вся польза и удобство формальных систем как раз и заключаются в их абстрагировании от конкретной реальности. Благодаря этому одна и та же формальная система может служить моделью многочисленных различных конкретных ситуаций. Наконец, он возвращается к исходной точке всего построения и дает интерпретацию теорем, полученных при формализации. Необходимо, конечно, чтобы для данной формальной системы всегда существовала по крайней мере одна интерпретация, в которой каждая теорема данной формальной системы была бы истинной.

Конкретная формальная система является тем более интересной, чем больше существует для нее различных интерпретаций. В таком случае наличие даже какого-то одного формального доказательства уже обеспечивает получение различных конкретных результатов. В современной математике большой интерес вызывают формальные системы самого общего характера, которые исследуются в теории категорий и теории моделей.