1.3.6. Кинематика вращательного движения вокруг неподвижной оси

Абсолютно твердое тело (АТТ) – это система частиц, расстояния между которыми в процессе движения тела неизменны.

Всякое движение твердого тела можно разложить на два основных движения – поступательное и вращательное.

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может находиться вне тела.

Радиус-вектор каждой точки (вектор, проведенный из центра соответствующей окружности в данную точку) поворачиваются за время t на один и тот же угол  – угол поворота твердого тела.

Поворот тела на некоторый угол (бесконечно малый) d задают в виде отрезка, длина которого равна d , а направление совпадает с осью, вокруг которой совершен поворот.

Векторы типа , направление которых связывается с направлением вращения (или обхода), называютаксиальными векторами.

Векторная величина

(1.3.31)

называется угловой скоростью АТТ. Вектор направлен (как и) вдоль оси, вокруг которой вращается тело в сторону, определяемую правилом правого винта, и представляет собой аксиальный вектор.

При равномерном вращении

 = /t. (1.3.32)

При одном полном обороте на время t = T тело поворачивается на угол  = 2:

 = 2/T  T =  /2, (1.3.33)

где Т – период вращения.

Число оборотов в единицу времени называется частотой вращения:

 = 1/Т =  /2. (1.3.34)

При неравномерном вращении говорят, что тело вращается с ускорением (угловым)

. (1.3.35)

При увеличении угловой скорости со временем вектор угловой скорости и вектор углового ускорения сонаправлены (ускоренное движение). В случае замедленного движения эти векторы противонаправлены.

Обратная задача кинематики вращательного движения:

. (1.3.36)

Для равноускоренного (равнозамедленного) вращения:

. (1.3.37)

Пример 12. Частица из состояния покоя начала ускоренное вращение по окружности радиуса 1 м, угол поворота зависит от времени по закону (t) = Аt³. Найти через 1 секунду после начала движения: 1) отношение тангенциального и нормального ускорений; 2) величину полного ускорения частицы. А = 1 рад/с³.

Дано: (t) = Аt³,

R = 1 м,

t = 1 с.

Найти: 1) а_/а_n; 2) a.

Решение. Тангенциальное и нормальное ускорения частицы найдем с помощью формул (1.3.28) и (1.3.30) с учетом (1.3.29), (1.3.31) и (1.3.35):

а_ = R,  = d/dt,  = d/dt = d(Аt³)dt = 3At² = 3(рад/с).  = d(3At²)dt = 6At = 6 (рад/с²), откуда а_ = 6 (м/с²).

Нормальное ускорение: a_n = v²/R, связь между линейной и угловой скоростями: v = R = 3 (м/с), поэтому a_n= 3²/1 = 9 (м/с²).

Отношение тангенциального и нормального ускорений:

а_/a_n = 6/9 = 0,67.

Полное ускорение частицы найдем из (1.3.27):

= (9² + 6²)^1/2 = 10,8 (м/с²).

Ответ: 0,67; 10,8 м/с².

Пример 13. Диск радиуса 1 м начал вращаться вокруг своей оси так, что угол его поворота зависит от времени по закону

(t) = Аt³ – Вt². Через сколько секунд диск остановится, если

А = 1 рад/с³, В = 1 рад/с²?

Дано: (t) = Аt³ – Вt²;

R = 1 м;

А = 1 рад/с³, В = 1 рад/с².

Найти: t.

Решение. Время остановки диска находим из условия, что его конечная угловая скорость равна нулю:  = 0.

Вращение диска по условию задачи не является равнопеременным, поэтому для нахождения зависимости угловой скорости от времени используем формулу (1.3.31):

, откуда  = d/dt = d[Аt³ – Вt²]/dt = 3At² –

– 2Bt.

Теперь используем условие равенства нулю угловой скорости, приравняв к нулю полученное выражение, и найдем время остановки диска:

3At² – 2Bt = 0  t(3At – 2B) = 0.

Имеем два корня уравнения:

t₁ = 0 и t₂ = 2B/3A = 0,67 (с).

Ответ: диск остановится через 0,67 секунды.