5.3.2. Волны де Бройля

Длина волны де Бройля:

, (5.3.8)

где р – импульс частицы.

Если заряженная частица с зарядом q_e проходит ускоряющую разность потенциалов , то за счет работы электрического поля она приобретает кинетическую энергию:

==q_e, (5.3.9)

причем  = U (U – разность потенциалов – напряжение).

Поле, ускоряющее частицу, совершает работу:

= A. (5.3.10)

Если частица движется со скоростью V_0, импульс частицы будет равен p = mV₀, тогда длина волны де Бройля будет вычисляться по формуле:

. (5.3.11)

Пример 18. Электроны в электронном микроскопе ускоряются напряжением 100 В. Определите длину волны де Бройля электронов в конце процесса ускорения, работу электрического поля над электронами, скорость электронов в конце процесса ускорения. Масса электрона m_е = 9,110^-31 кг.

Дано: U = 100 В,

m_е = 9,110^-31 кг,

q_e = 1,610^-19 Кл.

Найти: _Б, А, V.

Решение. Длину волны де Бройля найдем по формуле (5.3.8), импульс – из закона сохранения энергии (5.3.9) с учетом того факта, что  = U:

, =q_e = q_eU, имеем из (5.3.9):

p = , тогда, после подстановки полученного выражения для импульса в (5.3.8):

= 1,2310^-10 м.

Работа электрического поля: А = q_eU = 1,610^-17 Дж.

Скорость электронов в конце процесса ускорения:

V = p/ m = / m = 5,9310⁶ м/с.

Ответ: _Б = 1,2310^-10 м, А = q_eU = 1,610^-17 Дж, V = 5,9310⁶ м/с.

5.3.3. Фотоны. Энергия фотонов

Энергия фотона вычисляется по формуле:

Е_ф = h = hc/, (5.3.12)

где h – постоянная Планка,  – частота фотона, c – скорость света,  – длина волны фотона.

Энергия импульса лазерного излучения, состоящего из N фотонов:

Е_имп = NЕ_ф = N h = N hc/. (5.3.13)

Кроме того:

Е_имп = Р, (5.3.14)

где Р – мощность светового импульса ,  – длительность светового импульса.

Предел разрешения микроскопа:

Z. (5.3.15)

Разрешающая способность микроскопа:

A = 1/d. (5.3.16)

Числовая апертура микроскопа – это произведение показателя преломления среды и синуса апертурного угла: nsin(u/2).

Пример 19. Для сварки отслоившейся сетчатки используется лазер, работающий в импульсном режиме. Определить число фотонов в импульсе, если длина волны излучения составляет 640 нм, а энергия импульса равна 14 мДж. Чему станет равна мощность лазерного излучения, если за 1 с лазер будет излучать 3,210¹⁷ фотонов света? Какова энергия этого лазерного импульса, если он длится 0,01 с?

Дано:  = 640 нм = 64010^-9 м,

Е_имп = 14 мДж = 1410^-3 Дж,

 = 1 с,

N₂ = 3,210¹⁷,

t₁ = 0,01 с.

Найти: N₁, Р, W.

Решение. а) Число фотонов N₁ в импульсе выразим из формулы (5.3.13) с учетом (5.3.12):

Е_имп = N₁Е_ф, где Е_ф = h = hc/, тогда

Е_имп = N₁ h = N₁ hc/  N₁ = Е_имп/ hc = 4,4810¹⁶.

б) Мощность лазерного излучения выразим из формулы (5.3.14): Е_имп = Р.

Поскольку здесь энергия импульса Е_имп=N₂h = N₂hc/, то после подстановки в (5.3.14) получим окончательно

Р = Е_имп/ = N₂hc/() = 0,1 Дж.

в) Энергию лазерного излучения рассчитаем по формуле (5.3.13) с учетом того, что за 0,01 секунду фотонов будет испущено лазером в 0,01 раз меньше, чем за одну секунду:

W = 0,01N₂ h = 0,01N₂ hc/ = 9,9410^-4 Дж.

Ответ: N₁ = 4,4810¹⁶, Р = 0,1 Дж, W = 9,9410^-4 Дж.

Пример 20. Найти предел разрешения электронного микроскопа, принимая во внимание, что кинетическая энергия электронов составляет 0,2110^-16 Дж, а угловая апертура u = 10^-2 рад.

Дано: Е_к = 0,2110^-13 Дж,

u = 10^-2 рад = 0,57.

Найти: Z.

Решение. Чтобы найти предел разрешения электронного микроскопа, необходимо воспользоваться формулой (5.3.15):

Z,

Здесь нам неизвестна длина волны электронов, и ее мы найдем (считая, что это длина волны де Бройля) из соотношения (5.3.8):

,

где импульс р электронов легко найти, учитывая, что в условии задачи дана кинетическая энергия электронов:

= = Е_к, откуда p = , поэтому

= 1,0710^-10 м.

Подставим найденную длину волны в (5.3.15) и найдем предел разрешения микроскопа:

Z= (n = 1 по условию задачи) = 1,0710^-8 м.

Разрешающая способность микроскопа при этом будет составлять, учитывая (5.3.16):

A = 1/d = 9,310⁷ м^-1.

Числовая апертура микроскопа: nsin(u/2) = 4,9710^-3.

Ответ: d = 1,0710^-8 м.