1.3.2. Случайные величины

Пусть дискретная случайная величина X задана таблицей

где р₁ +р₂ + … + р_n = 1. (1.3.5)

Математическое ожидание дискретной случайной величины X:

М(X) = .(1.3.6)

(математическое ожидание имеет ту же размерность, что и случайная величина).

Дисперсия дискретной случайной величины X:

D(X) = (1.3.7)

(дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины).

Непрерывная случайная величина X может быть задана своей функцией распределения вероятностей или плотностью распределения вероятностей.

Плотность распределения вероятностей случайной величины X:

f_X(x) = f(x) = dP/dx.

Функция распределения вероятностей случайной величины X:

F_X(x) = F(x) = P(X  х),

P(x₁ < X < x₂) = F(x₂) – F(x₁). (1.3.5)

Связь функции распределения и плотности вероятностей:

f(x) = F(x)' = dF(x)/dx,

F(x) = .

Условие нормировки для непрерывной случайной величины:

= l.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X:

М(Х) = .

Дисперсия непрерывной случайной величины X:

D(X) = .

Общие соотношения:

D(X) = М{[Х – М(Х)]²}

или

D(X) = М(Х²) – [М(Х)]².

Среднее квадратическое отклонение случайной величины:

(Х) = Р(X).

Плотность распределения вероятностей для нормального закона распределения (закона Гаусса):

f(x) = ,

где а – математическое ожидание случайной величины,  – среднее квадратическое отклонение.

Функция распределения вероятностей для нормального закона:

F(x) = Ф(t), (1.3.6)

где t = (х – а)/, значения функции Ф(t) даны в соответствующих таблицах.

Плотность распределения вероятностей для равномерного распределения на интервале [а, b]:

f(x) = 0 вне отрезка [а, b],

f(x) = 1/(b – а) при а  х  b.

Плотность вероятности для экспоненциального закона распределения:

f(x) = ехр(–x), х  0.

Распределение Больцмана:

n = n₀exp(– mgh/kT),

где n – концентрация молекул, h – высота над уровнем Земли, m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана, g – ускорение свободного падения.

Пример 4. Случайная величина распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием (а = 0) и средним квадратическим отклонением а. Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значения в интервалах:

а) –  < X < + ; б) – 2 < X < + 2; в) – 3 < X < +3.

Пример решения для интервала шириной .

Согласно (1.3.5) и (1.3.6) запишем:

Р(– < X < +) = F() – F(–) = Ф[( – а)/] – Ф[(–  – а)/],

Ф[( – 0)/] = Ф(1) = 0,8413 (из таблицы),

Ф[(– – 0)/ ] = Ф(– 1) = 1 – Ф(1) = 1 – 0,8413 = 0,1587,

Р = Ф (1) – Ф (–1) = 0,8413 – 0,1587 = 0,6826.

Иллюстрация правила трех сигм.

Среди 10 000 значений нормальной случайной величины в среднем только 27 выйдут за пределы интервала (а – 3, а + 3). Это означает, что среди небольшого числа значений X практически нет таких, которые выходят за пределы указанного интервала.

Пример 5. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 3 и дисперсией 4. Найти вероятность того, что 1 < X < 7.

Решение. а = 3,  = 4 = 2 найдем искомую вероятность (без вывода):

Р(1< X < 7) = [Ф{(7 – 3)/2} – Ф{(1 – 3)/2}] = [Ф(2) – Ф(–1)] =

= (0,9772 – 0,1587) = 0,8185.