Если оптическая разность хода когерентных волн, пришедших от таких источников, равна нечетному числу длин полуволн

_мин = (2k + 1), k – целое число, (4.3.5)

то волны приходят в противофазе и гасят друг друга, т.е. получается интерференционный минимум интенсивности света.

Пример 1. В точку пространства приходят световые когерентные волны, от источников, испускающих волны в одинаковой фазе, с оптической разностью хода 3 мкм. Длина волны света равна 500 нм. Чему равна соответствующая разность фаз? Каков результат интерференции света в этой точке?

Дано:  = 500 нм = 50010^-9 м,

 = 3 мкм = 310^-6 м.

Найти: , k.

Решение. Запишем условие максимума интерференции (4.3.4) и подставим в него числовые данные:

_макс = 2k  310^-6 = 2k(50010^-9/2), откуда

k = 6, то есть, в данной точке пространства мы будем наблюдать максимум интенсивности света.

Для того чтобы найти разность фаз, запишем условие (4.3.2) и подставим в него полученное значение k:

 = ₂ – ₁ = 2k = 26 = 12.

Ответ:  = 12, максимум интерференции.

Пример 2. Разность фаз двух интерферирующих волн, от двух когерентных источников, испускающих волны в одинаковой фазе, в точке наблюдения равна 5. Длина волны света 600 нм. Чему равна соответствующая разность хода? Каков результат интерференции света?

Дано:  = 5,

 = 600 нм = 60010^-9м,

Найти: , k.

Решение. По условию задачи разность фаз  составляет 5, то есть у нас нечетное число . Таким образом, в точке интерференции двух волн будет наблюдаться минимум интенсивности света, поэтому необходимо записать условие минимума интерференции (4.3.1):

 = ₂ – ₁ = (2k +1) = 5,

откуда выразить порядок интерференции k: k = 2.

Для того чтобы найти оптическую разность хода, запишем условие минимума интерференции (4.3.5) и подставим соответствующие числовые данные:

_мин = (2k + 1) = (22 +1)(60010^-9/2) = 310^-6м = 3 мкм.

Ответ: k = 2, наблюдаем минимум интерференции, _мин = 3 мкм.

4.3.2. Дифракция

Каждый участок волнового фронта электромагнитной волны – это быстропеременные колебания электрических и магнитных полей, которые, согласно уравнениям Максвелла, снова порождают электромагнитную волну. Иначе говоря,

Любой участок волнового фронта является источником вторичных электромагнитных волн, имеющих ту же частоту и распространяющихся во все стороны с такой же фазовой скоростью и складывающихся в точке наблюдения дифракции.

Это утверждение называется принципом Гюйгенса-Френеля.

Дифракция электромагнитных волн – это явления, возникающие при сложении бесконечного числа вторичных электромагнитных волн, испущенных каждой точкой волнового фронта. При этом появляются отклонения от законов геометрической оптики.

В частности, в результате дифракции происходит огибание волнами препятствий, а также образование картины чередующихся максимумов и минимумов освещенности, аналогичной интерференционной картине.

При падении плоской волны на узкую щель шириной а, условие максимума дифракции будет иметь вид:

tg( /2) =  /2,   0 (4.3.6)

Первыми тремя корнями этого уравнения будут соответственно:

₁ = 8,99 рад, ₂ = 15,45 рад, ₃ = 21,81 рад.

Условие минимума дифракции при этом будет иметь вид:

asin = 2k , (4.3.7)

Дифракционная решетка – это система из N одинаковых щелей, расположенных на равном расстоянии d (постоянная решетки) друг от друга.

Условие главных интерференционных максимумов интенсивности света, прошедшего через дифракционную решетку:

dsin = k. (4.3.8)

Здесь  – угол дифракции, k – порядок интерференционного максимума.

Если ширина дифракционной решетки l, и число щелей N, то постоянная решетки вычисляется по формуле

d = l/N. (4.3.9)

Пример 3. Во сколько раз различаются ширины двух щелей, если при нормальном падении на них одного и того же монохроматического света третий дифракционный минимум от первой щели наблюдается под тем же углом, что и второй дифракционный минимум от второй щели.

Дано: k₁ = 3,

k₂ = 2,

₁= ₂,

Найти: а₂/а₁.

Решение. Запишем условие минимума (4.3.7) для первой и второй щели:

a₁ sin  = 2k₁ , k₁ = 3, откуда a₁ sin  = 6,

a₂ sin = 2k₂ , k₂ = 2, откуда a₂ sin = 4.

Получаем:

а₂/а₁ = 1/3.

Ответ: 1/3.

Пример 4. Какой наивысший порядок спектра можно наблюдать при нормальном падении на щель монохроматического света, если длина волны укладывается в ширине щели 7 раз?

Дано: а = 7,

Найти: k_макс.

Решение. Необходимо записать условие максимума дифракции на щели:

asin = (2k + 1)

и учесть, что в условии задачи надо найти максимальный порядок спектра k_макс. Поскольку ширина щели а и длина волны света, падающего на щель, остаются постоянными, то наивысший порядок спектра будет наблюдаться при условии максимума синуса угла дифракции ((sin)_макс = 1):

a(sin)_макс = (2k_макс + 1)  7 = (2k_макс + 1) ,

14 = 2k_макс + 1  k_макс = 13/2 = 6 (ответ округляем до целых).

Ответ: k_макс = 6.

Пример 5. Дифракционная решетка имеет 2500 штрихов на 1 см, при этом максимум четвертого порядка наблюдается под углом 30. Найти длину волны падающего света. Какой наивысший порядок спектра можно наблюдать с помощью этой дифракционной решетки, если на нее нормально падает свет с длиной волны 670 нм?

Дано: N = 2500,

l = 1 см = 0,01 м,

k = 4,

 = 30,

 = 670 нм = 67010^-9м.

Найти: , k_макс.

Решение. а) Найдем длину волны света, падающего на дифракционную решетку. Для этого запишем условие главных интерференционных максимумов (4.3.8) при падении света на решетку, а также формулу (4.3.9) для расчета постоянной решетки:

dsin = k, d = l/N,  (l/N) sin = k.

Выразим из последней формулы длину волны :

 = (l sin )/(N k) = 510^-7м = 500 нм.

б) Найдем теперь наивысший порядок спектра, который можно наблюдать помощью этой дифракционной решетки, если на нее нормально падает свет с длиной волны 670 нм. Для этого запишем условие дифракционных максимумов (4.3.8) с учетом (4.3.9), а также с учетом того факта, что наивысший порядок спектра будет наблюдаться при условии максимума угла дифракции (см. пример 4):

d(sin )_макс= k_макс, (sin )_макс = 1, d = l/N,

имеем:

k_макс = l/(N) = 5,9 = 5.

Ответ:  = 500 нм, k_макс = 5.