3.3.4. Электрические колебания

Если колебательный контур состоит из последовательно соединенных конденсатора и катушки индуктивности с нулевым омическим сопротивлением, то колебания в таком контуре будут незатухающими (собственными). Уравнение собственных гармонических незатухающих колебаний:

q = q₀cos(₀t + ₀), (3.3.21)

где q₀ – амплитудное значение заряда на конденсаторе, ₀ – циклическая частота собственных незатухающих колебаний, ₀ – начальная фаза колебаний.

Собственная частота незатухающих колебаний ₀ определяется выражением

₀ = , (3.3.22)

где L – индуктивность катушки индуктивности, С – емкость конденсатора.

Если колебательный контур состоит из последовательно соединенных резистора (омического сопротивления) с сопротивлением R, конденсатора емкостью С и катушки индуктивности с индуктивностью L, то колебания в таком контуре будут затухающими, а уравнение затухающих колебаний будет выглядеть так:

q = q₀exp(–t)cos(t + ₀). (3.3.23)

Здесь  – циклическая частота собственных затухающих колебаний, определяемая выражением

 = , (3.3.24)

 – коэффициент затухания, причем

 = . (3.3.25)

Импедансом Z называется полное сопротивление цепи, которая содержит омическое сопротивление (оно еще называется активным), катушку индуктивности и конденсатор:

Z = . (3.3.26)

Период колебаний в контуре, если в нем совершаются собственные незатухающие колебания, определяется выражением

Т = 1/ = 2/₀. (3.3.27)

Для случая собственных затухающих колебаний период колебания следует вычислять по формуле

Т = 2/, (3.3.28)

где частота  определяется выражением (3.3.24).

Пример 30. Определить коэффициент затухания и емкость колебательного контура аппарата УВЧ, если активное сопротивление R = 4,310³ Ом, индуктивность катушки L = 65мкГн, а частота электрических колебаний в контуре составляет  = 20 МГц.

Дано: R = 4,310³ Ом,

L = 65мкГн = 6510^–6 Гн,

 = 20 МГц = 2010⁶ Гц.

Найти: , С.

Решение. Поскольку в колебательном контуре имеется омическое сопротивление, то колебания будут затухать. Запишем исходные формулы для решения задачи. Для нахождения коэффициента затухания воспользуемся формулой (3.3.25):

 =,

подставим в нее числовые данные:  = = 3310⁶ с^–1.

Емкость конденсатора найдем с помощью выражений (3.3.22) и (3.3.24):

₀ =, =.

Собственная частота затухающих колебаний  нам неизвестна, но мы знаем, как связаны между собой частота  и циклическая частота:

 = 2, (3.3.29)

поэтому

2 =  =.

Выразим из (3.3.24) частоту ₀, а затем и емкость конденсатора:

₀ = =, откудаС = = 310^–12 Ф.

Ответ: 3310⁶ с^–1; 310^–12 Ф.

Пример 31. Колебательный контур состоит из двух конденсаторов, соединенных последовательно, емкостью 10000 пФ каждый и соленоида. Определить индуктивность катушки, если контур резонирует на частоту волны 300 кГц.

Дано: _р = 300 кГц = 300000Гц,

С₁ = С₂ = С = 10000 пФ = 10^–8 Ф.

Найти: L.

Решение. Резонансная частота определяется формулой (3.3.22):

_р =,

откуда легко выразить искомую в задаче индуктивность катушки:

L = 1/(C_общ_р²).

Здесь C_общ – общая емкость батареи из двух последовательно соединенный конденсаторов, которую находим из формулы (2.3.34):

1/C_общ = 1/С₁ + 1/С₂ , откуда C_общ = С₁С₂/(С₁ + С₂) = С/2 = 510^–9 Ф.

Тогда для индуктивности имеем:

L = 1/(C_общ_р) = 2/(C_р²) = 2,210^–3 Гн.

Ответ: 510^–9 Ф; 2,210^–3 Гн.