2.3.6. Ёмкость. Конденсаторы

Электрическое поле внутри плоского конденсатора заключено строго внутри него, энергия W этого поля вычисляется по формуле

W = ₀E²V/2 = CU²/2 = q²/2C. (2.3.29)

Здесь W – энергия электрического поля внутри конденсатора,  – диэлектрическая проницаемость среды, которой заполнен конденсатор, ₀ – электрическая постоянная, E – напряженность электрического поля конденсатора, V – объем пространства внутри конденсатора, C – емкость конденсатора, U – напряжение между обкладками конденсатора, q – заряд на обкладках конденсатора.

Емкость плоского конденсатора:

C = q/U = ₀S/d, (2.3.30)

где S – площадь обкладок конденсатора, d – расстояние между его обкладками.

Если конденсатор воздушный, то  = 1.

Между напряженностью E электрического поля конденсатора и напряжением U на его обкладках существует связь:

U = Ed, (2.3.31)

Поверхностная плотность заряда  на обкладках плоского конденсатора – это заряд единицы площади, определяемый выражением:

q = S, (2.3.32)

S – площадь пластин (обкладок) конденсатора, причем

S = ab – площадь прямоугольных пластин плоского конденсатора,

S = a² – площадь квадратных пластин плоского конденсатора,

S = r² – площадь пластин-дисков плоского конденсатора.

Электроемкость батареи, состоящей из параллельно соединенных конденсаторов,

С =  С_i, (2.3.33)

а из последовательно соединенных конденсаторов –

1/С =  (1/С_i), (2.3.34)

где С_i – электроемкость отдельного конденсатора.

Пример 10. Найти энергию электрического поля внутри плоского воздушного конденсатора, если известны напряженность поля конденсатора Е = 1000 В/м, площадь пластин S = 10 см², а также расстояние между пластинами d = 1 мм.

Дано: Е = 1000 В/м,

S = 10 см² = 110^–3 м²,

d = 1 мм = 0,001 м.

 = 1.

Найти: W.

Решение. Для расчета энергии электрического поля внутри конденсатора запишем формулу (29):

W = ₀E²V/2.

Объем поля конденсатора равен объему пространства внутри конденсатора, поэтому

V = Sd (2.3.35)

Подставим (2.3.35) в (2.3.29):

W = ₀E²V/2 = ₀E²Sd/2. (2.3.36)

После подстановки в (2.3.36) числовых данных, получим искомую энергию поля внутри конденсатора:

W = ₀E²Sd/2 = 4,410^–12 Дж.

Ответ: 4,410^–12 Дж.

Пример 11. Найти энергию электрического поля плоского воздушного конденсатора с зарядом на обкладках, равным 2 нКл (заряд распределен по поверхности обкладок равномерно) и расстоянием между обкладками 1 мм. Обкладки конденсатора имеют форму дисков радиусом 10 см. Найти напряжение между обкладками конденсатора.

Дано:  = 1,

d = 1 мм = 0,001 м,

r = 10 см = 0,1 м,

q = 2 нКл = 210^–9 Кл.

Найти: W, U.

Решение. Для расчета энергии электрического поля конденсатора используем исходную формулу (2.3.29):

W = q²/2C,

Емкость плоского конденсатора будем рассчитывать по формуле (2.3.30):

C = ₀S/d .

Обкладки конденсатора – диски, поэтому площадь обкладок будет вычисляться по формуле

S = r². (2.3.37)

Подставим (2.3.37) в (2.3.30) и получим формулу для расчета емкости конденсатора:

C = ₀S/d = ₀r²/d . (2.3.38)

Подставим (2.3.38) в (2.3.29) и рассчитаем энергию поля внутри конденсатора:

W = q²/2C = q²/2(₀r²/d) = q²d/(2₀r²) = 7,210^–9 Дж.

Напряжение между обкладками конденсатора найдем по формуле (2.3.31):

U = Ed,

а напряженность поля внутри конденсатора – по формуле

E = /₀, (2.3.39)

где  – поверхностная плотность заряда обкладок конденсатора, которую выразим из (2.3.32):  = q/S.

Таким образом,

E = /₀ = q/S₀ = q/r²₀,

U = Ed = (q d)/(r²₀) = 7,2 В.

Ответ: 7,210^–9 Дж; 7,2 В.

Пример 12. Вычислите электроемкость тела человека, считая ее равной электроемкости электропроводящего шара того же объема. Среднюю плотность тела принять равной 1 г/см³, масса человека составляет 60 кг.

Дано:  = 1 г/см³ = 1000 кг/м³,

m = 60 кг,

Найти: С.

Решение. Емкость проводящего шара будем искать по формуле

C = 4₀R .

Объем шара: V = (4/3) R³, откуда выразим радиус шара:

R = [(3V)/(4)]^1/3.

Объем тела человека можно выразить через массу и плотность следующим образом:

V = m/, поэтому R = [(3m)/(4)]^1/3, поскольку по условию задачи объемы проводящего шара и тела человека равны, а емкость тела человека окончательно

C = 4₀R = 4₀[(3m)/(4)]^1/3 = 9 пФ.