Длиной волны  называется расстояние, на которое перемещается ее фронт за время равное периоду колебаний частиц среды:

 = VT,

где V – скорость волны.

При волновом движении происходит перенос энергии Е, которая складывается из кинетической энергии колеблющихся частиц среды и потенциальной энергии, обусловленной деформацией среды при взаимном смещении частиц.

Для количественного описания переноса энергии вводят следующие величины.

Поток энергии (Ф) – величина, равная средней энергии, проходящей за единицу времени через данную поверхность:

Ф = E/t [Вт].

Объемная плотность энергии (_p) – средняя энергия колебательного движения, приходящаяся на единицу объема среды:

_p = А²²/2 [Дж/м³],

где  – плотность среды.

Интенсивность волны (плотность потока энергии волны) (I) – величина, равная потоку энергии волны, проходящей через единичную площадь, перпендикулярную к направлению распространения волны:

I = Ф/S [Вт/м²]. (1.3.84)

Можно показать, что интенсивность волны определяется соотношением

I = VA²²/2 = р²/(2V),

где р – звуковое давление, V = 330 м/с – скорость звука в воздухе.

Пример 38. Капсула фонендоскопа имеет диаметр 3 см. Площадь барабанной перепонки 70 мм², на нее попадает 90 % звуковой энергии при интенсивности 10^–11 Вт/м². Чему равна интенсивность сердечных тонов у входа в капсулу фонендоскопа?

Дано: d = 3 см = 0,03 м;

S_п = 70 мм² = 710^–5 м²;

I_п = 10^–11 Вт/м²;

Ф_п = 0,9Ф_ф.

Найти: I_ф.

Решение. Исходя из (1.3.84), запишем, чему равны потоки звуковой энергии у входа в капсулу фонендоскопа (Ф_ф) и воздействующие на барабанную перепонку (обозначен как Ф_п):

Ф_п = I_пS_п, Ф_ф = I_фS_ф.

По условию задачи Ф_п = 0,9Ф_ф, поэтому, с учетом S = d²/4,

Ф_ф = I_фS_ф = I_ф(d²/4), Ф_п = I_пS_п = 0,9Ф_ф = 0,9I_ф(d²/4),

откуда I_ф = (4I_пS_п)/(0,9d²) = 1,110^–12 (Вт/м²).

Ответ: 1,110^–12 Вт/м².

Пример 39. Две точки находятся на расстоянии 6 м и 12 м от источника колебаний. Найти разность фаз колебаний этих точек, если период колебаний Т = 0,04 с, а скорость их распространения V = 300 м/с.

Дано: s₁ = 6 м;

s₂ = 12 м;

T = 0,04 с;

V = 300 м/с.

Найти: .

Решение. Согласно (1.3.82) для точек, находящихся на расстоянии s₁ и s₂ от источника колебаний, имеем:

х₁ = Acos[(t – s₁/V)], х₂ = Acos[(t – s₂/V)],

где фазы колебаний

₁ = (t – s₁/V), ₂ = (t – s₂/V),

а разность фаз колебаний

 = ₁ – ₂ = (s₂ – s₁)/V = [2( s₂ – s₁)]/(ТV),

где использована формула связи между частотой колебаний  и периодом колебаний Т (1.3.83):  = 2/Т.

Имеем окончательно:

 =  (рад), то есть, точки колеблются в противофазе.

Ответ:  рад.

1.3.13. Эффект Доплера

Эффект Доплера состоит в том, что воспринимаемая приемником частота  отличается от излучаемой источником частоты ₀ вследствие движения источника волн и приемника.

Эффект может наблюдаться в акустике и оптике.

Пусть гармонические колебания источника волн определяются уравнением

x_И = Acos(2₀t) = Acos(2t/T₀),

где ₀ – частота ультразвука, излучаемого генератором, T₀ – период колебаний источника.

Период и частота колебаний, фиксируемых приемником:

, , (1.3.85)

где V – скорость ультразвука, излучаемого генератором, V_И – скорость источника колебаний, V_П – скорость приемника колебаний.

Верхний знак берется, если соответствующая скорость направлена в сторону оси х (от источника к приемнику), а нижний знак – для обратного направления.

Рассмотрим один частный случай использования эффекта Доплера в медицине. Пусть генератор ультразвука совмещен с приемником в виде некоторой технической системы, которая неподвижна относительно среды. Генератор излучает ультразвук с частотой ₀, который распространяется в среде со скоростью V.

Навстречу системе со скоростью V₀ движется некоторый объект. В данном случае система выполняет роль источника (V_И = 0), а объект – роль приемника (V_П = V₀). По формуле (1.3.85) найдем частоту, воспринимаемую объектом:

.

Ультразвуковая волна с частотой  отражается объектом в сторону технической системы. Теперь система выполняет роль приемника (V_П = 0), а объект – роль источника (V_И = – V₀). В этом случае приемник воспринимает частоту

.

Таким образом, возникает разница между принятой и испущенной частотами, которую называют доплеровским сдвигом частоты:

.

В медицинских приложениях скорость ультразвука значительно больше скорости движения объекта (V  V₀). В этом случае V – V₀  V или:

. (1.3.86)

При приближении объекта к датчику частота отраженного сигнала увеличивается, а при удалении – уменьшается.

Эффект Доплера используется для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (доплеровская эхокардиография) и других органов.

Пример 40. Определить скорость кровотока в артерии, если при отражении ультразвука частотой 100 кГц, имеющим скорость 1500 м/с, от эритроцитов возникает доплеровский сдвиг частоты

_D = 40 Гц.

Дано: ₀ = 100 кГц = 100 000 Гц;

V = 1500 м/с;

_D = 40 Гц.

Найти: V₀.

Решение. Из формулы (1.3.86) найдем: V₀ = _D  (V/2)  ₀ =

= 401500/(2100 000) = 0,3 (м/с).

Ответ: 0,3 м/с.

Пример 41. Источник создает звук частотой 500 Гц, когда он находится в покое. Затем он начинает двигаться к наблюдателю, стоящему на месте, со скоростью 30 м/с. Какую частоту звука будет воспринимать наблюдатель?

Дано: V = 330 м/с;

V_П = 0 м/с;

V_И = 30 м/с;

₀ = 500 Гц.

Найти: .

Решение. Поскольку источник звука приближается к покоящемуся приемнику звука (это в данном случае наблюдатель), в формуле (1.3.85) берем верхний знак с учетом того, что по условию V_П = 0:

= == 550 (Гц).

Ответ: 550 Гц.

Пример 42. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 20 м/с и 15 м/с. Первая машина дает сигнал с частотой 750 Гц. Какой частоты сигнал услышит водитель второй машины: а) до встречи машин; б) после встречи машин.

Дано: V₁ = 20 м/с, V₂ = 15 м/с;

₀ = 500 Гц;

V = 330 м/с.

Найти: .

Решение. а) Рассмотрим случай сближения машин. В (1.3.85) следует брать верхний знак. Имеем:

== 835 (Гц).

б) При удалении машин друг от друга после встречи в (1.3.85) берем нижний знак, получаем:

== 675 (Гц).

Ответ: 835 Гц; 675 Гц.

ВАРИАНТЫ ТЕСТОВ

Вариант 1