1 2 . Г л а в н ы е и э к в и в а л е н т н ы е н а п р я ж е н и я

12. Главные и эквивалентные напряжения

Напомним некоторые основные положения теории напряжений, излагаемые обычно в курсе теории упругости или в подробных учебниках сопротивления материалов.

Если выделять из тела в окрестности некой точки (рис. 12.1) элементарный объем в виде бесконечно малого параллелепипеда, то действие на него окружающей среды заменяется напряжениями, компоненты которых действуют на грани параллелепипеда.

В силу закона парности касательных напряжений

В общем случае в точке имеется только шесть независимых компонент напряжений, которые образуют симметричный

тензор напряжений

На проходящей через ту же точку произвольно ориентированной площадке, нормаль которой ν имеет направляющие косинусы l, m, n с осями x, y, z, действует нормальное напряжение σν и касательное напряжение τν (рис. 12.2) с равнодействующей Sν. Проекции этой равнодействующей на координатные оси Sνx, Sνy, Sνz связаны с компонентами напряжений условиями равновесия (формула Коши):

Существуют три таких взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения отсутствуют. На этих, так называемых, главных площадках действуют главные напряжения σ1, σ2 и σ3. При этом имеется в виду, что σ1≥σ2≥σ3. Известно также, что главные напряжения обладают экстремальными свойствами, а именно – на любой площадке результирующее напряжение Sν ≤ σ1 и Sν ≥ σ3 .

Направляющие косинусы lk , mk и nk нормалей главных площадок νк определяются из решения системы уравнений:

Из (4) следует, что главные напряжения σk (к=1,2,3)

1

1 2 . Г л а в н ы е и э к в и в а л е н т н ы е н а п р я ж е н и я

являются корнями кубического уравнения:

а его коэффициенты являются инвариантами (т.е. не зависят от

напряжению (гидростатическому давлению) σ0 .

Направление главных площадок может быть определено не девятью направляющими косинусами, а тремя Эйлеровыми углами:

θ – угол (нутации) между положительными направлениями оси

Zи ν3 (0≤θ≤π);

ψ– угол (прецессии) между осью X и осью А, идущей вдоль

линии пересечения плоскостей XOY и ν1Оν2 так, чтобы ОА, Z и ν3 образовали правую тройку, при этом угол ψ увеличивается от оси X к оси Y (0≤ψ≤2π);

ϕ – угол (чистого вращения) между осями ν1 и А, который увеличивается от ν1 к ν2 (0≤ϕ≤2π).

Для характеристики НДС используется коэффициент Лоде-Надаи

μ0 = 2 N2 − N3 −1 ,

N1 − N3

принимающий значения μ0=1 при чистом сжатии, μ0=0 при чистом сдвиге, μ0=−1 при чистом растяжении.

В принятых обозначениях при выводе результатов расчета тензор напряжений (2) в общем случае выглядит как

В SCAD главные напряжения σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 обозначаются как

N1 ≥ N2 ≥ N3 .

Для углов Эйлера введены обозначения: θ – ТЕТА,

ψ – PSI,

ϕ – FI.

2