расчетов будем полагать, что балка железобетонная и выполнена из бетона класса В25 [14]. Пролеты балки равны 6 м и равны между собой. Балка имеет прямоугольное поперечное сечение с размерами b = 40 ñì ; h = 60 ñì .

Предположим, что крайние опоры неразрезной балки с достаточной степенью

точности можно считать жесткими, а средняя опора является упруго податливой и имеет некоторую жесткость k2 = 5 ×104 Ò.

С помощью программы SCAD требуется выполнить расчет по определению перемещений и усилий M и Q в сечениях балки, а также вертикального перемещения средней упругой опоры (пружины) и реакции в ней от загружения балки постоянной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью p = 2 Т/м, включающей в себя и собственный вес балки.

Ход решения первой задачи обычный [11]. Рассмотрим только процедуру установки в расчетную схему балки упругой связи конечной жесткости.

Решение задачи без учета симметрии неразрезной балки

В папке SDATA исходные данные для этой задачи сохраним в файле «под.оп1.SPR».

88

Для ввода упругой связи конечной жесткости в разделе Узлы и элементы открываем

меню для ввода элементов и нажимаем кнопку «Ввод связей конечной жесткости». Откроется диалоговое окно Связи конечной жесткости (элемент типа 51). Здесь приведен вид части этого окна для стержневой системы типа «Плоская рама» с введенной заданной жесткостью связи в направлении Z.

Подтвердив назначенную жесткость нажатием кнопки «ОК», закрываем окно и отмечаем узел балки, в который устанавливается упругая связь с этой жесткостью. После этого нажимается кнопка «ОК» на инструментальной панели назначения КЭ.

Если на фильтрах отображения нажаты соответствующие кнопки, то на расчетной схеме около узла, в который введена упругая связь в виде специального конечного элемента типа 51, появятся этот номер элемента и номер его жесткости.

Весь дальнейший расчет неразрезной балки проводится как обычно.

На рис. 2.9,в,г соответственно изображены эпюра M и эпюра Q с опорными реакциями

Vs ( s = 1, 2, 3 ) .

Таблицы перемещений и усилий в сечениях здесь не приведены. Но с ними всегда можно ознакомиться, открыв в папке SWORK соответственно файлы «под.оп1.Р05» и «под.оп1.Р06» с помощью программы Word Pad.

Решение задачи с учетом симметрии неразрезной балки

В папке SDATA исходные данные для этой задачи сохраним в файле «под.оп2.SPR». При наличии симметричности рассчитываемой системы и действующей на нее

нагрузки всегда необходимо обратить на это внимание, поскольку все перемещения и усилия в такой системе будут симметричными относительно оси симметрии.

Это свойство может быть использовано при расчете уменьшением расчетной схемы в два раза. Продемонстрируем это на примере рассматриваемой балки.

Ось симметрии балки и нагрузки на нее проходит вертикально через среднюю опору. Обратим внимание на то, что горизонтальная связь на левой опоре (внешне как бы нарушающая симметрию балки) не нарушает симметрии НДС балки при заданной поперечной нагрузке, так как статически определимая реакция в этой связи при такой нагрузке равна нулю.

Из рассмотрения сечения балки над средней опорой, совпадающего с осью симметрии, с точки его перемещений видно, что угол поворота этого сечения при расчете балки может получиться только равным нулю, поскольку он не возможен из условий симметрии.

По условию симметрии также невозможно горизонтальное перемещение этого сечения ни влево, ни вправо.

89

В вертикальном направлении, поскольку средняя опора представляет собой вертикальную упруго податливую связь, вертикальное перемещение сечения балки над средней опорой в зависимости от действующей нагрузки на балку возможно как вниз, так и вверх. Такое перемещение не нарушает условий симметрии перемещений и усилий.

С учетом этого анализа расчетную схему балки можно уменьшить следующим образом.

1.Рассмотрим только левую или только правую половину расчетной схемы (см. рис. 2.9,б , где изображена часть балки левее оси симметрии).

2.В сечении над опорой устанавливаем жесткую связь (заделку), не позволяющую сечению поворачиваться и горизонтальную связь, не позволяющую сечению смещаться горизонтально.

3.Жесткость вертикальной упругой связи (пружины) уменьшаем вдвое по сравнению

сжесткостью такой же связи в расчетной схеме для всей балки.

Это связано с тем, что для обеспечения вертикального перемещения упругой связи при рассмотрении половины расчетной схемы равного вертикальному перемещению аналогичной связи при рассмотрении всей балки надо использовать закон Гука (2.12) и (2.13)

и учесть, что давление Vs на пружину с половины балки уменьшится вдвое.

Поэтому, чтобы перемещение связи s не изменилось, и жесткость пружины ks должна уменьшиться вдвое. Это уменьшенное вдвое значение жесткости пружины показано на рис. 2.9, б.

Результат расчета балки для рассматриваемой ее части получится полностью совпадающим с результатом расчета для этой части при рассмотрении полной расчетной схемы.

Результат расчета для второй половины балки (в данном случае правой) симметричен результату расчета рассчитываемой половины (в данном случае левой) и полностью совпадает с результатом расчета, полученном для всей балки (см., например, эпюру M на рис. 2.9, в и таблицы перемещений и усилий соответственно в файлах «под.оп2.Р05» и «под.оп2.Р06» программы Word Pad).

В некоторых случаях, например при опирании неразрезной балки на фундаменты, возведенные на недостаточно изученном грунтовом основании, жесткость (податливость) опор известна недостаточно точно.

Поэтому расчетчику неразрезной балки на упруго податливых опорах придется провести исследование изменения усилий в сечениях балки и реакций ее опор в зависимости от изменения жесткости всех или части опор.

Исследование с помощью программы SCAD влияния жесткости упругих опор неразрезной балки на эпюру изгибающих моментов

В данном учебном пособии этот вопрос рассматривается на примере двухпролетной неразрезной балки, изображенной на рис. 2.9,а.

Поставим задачу исследования изменения эпюр M и Q, вызванного изменением жесткости средней опоры в пределах 0 ≤ k2 ≤ ∞ .

Эпюры M и Q для варианта жесткости средней опоры k2 = 5×104 Ò были

90

приведены соответственно на рис. 2.9,в,г. Эти эпюры изображены сплошными линиями на рис. 2.10,а и рис. 2.10,б.

Для демонстрации влияния на искомые величины (перемещения и усилия) значения жесткости средней опоры выполним расчет балки при двух крайних значениях жесткости опоры: ks = ∞ и ks = 0 .

При бесконечно большом значении жесткости средней опоры имеем вариант балки на жестких опорах. В этом случае можно просто рассмотреть левый и правый пролеты балки отдельно с тремя жесткими связями на средней опоре (в программе SCAD эти связи по направлению осей общей системы координат обозначаются X, Z, UY).

Эпюры M и Q для варианта с бесконечно жесткой средней опорой (заделкой) изображены штриховыми линиями соответственно на рис. 2.10,а,б.

Нулевое значение жесткости средней опоры соответствует варианту, когда средняя вертикальная связь отсутствует. Такая балка статически определима. Эпюры M и Q в ней известны и имеют вид, изображенный точечными линиями соответственно на рис. 2.10,а,б.

Вертикальное перемещение среднего сечения изменяется от нулевого при абсолютно жесткой опоре до максимального прогиба балки, составляющего –

91