− M 2 |
= K2 = 2 + i2 (2 − |
1 |
) = 2 + i2 |
(2 − |
1 |
) = 2 . |
(2.9) |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
M1 |
|
i1 |
|
|
|
|
K1 |
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|||||
Тогда при равных погонных жесткостях реальных пролетов балки: |
||||||||||||||||||
− |
M3 |
|
= K3 = 2 + i |
(2 − |
1 |
) = 2 + (2 − 1) = 3.5 ; |
(2.10) |
|||||||||||
M 2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
K2 |
|
2 |
|
|
|
||||||
− M 4 = K4 = 2 + i (2 − |
1 |
) = 2 + (2 − |
|
1 |
) = 3.714. |
(2.11) |
||||||||||||
|
3.5 |
|||||||||||||||||
M3 |
|
i |
|
|
K3 |
|
|
|
|
|
||||||||
Обратным |
|
ходом по |
известному |
опорному моменту |
M 4 = 0.5 тс∙м∙ |
|||||||||||||
(см. рис. 2.3,е) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
M3 = − M 4 |
3.714 = 0.5 / 3.714 = 0.13тс∙м; |
|
|||||||||||||
|
|
|
M 2 = − M3 |
3.5 = −0.13/ 3.5 = −0.04 тс∙м; |
|
|||||||||||||
|
|
|
M1 = − M 2 |
2 = −0.04 / 2 = 0.02 тс∙м. |
|
|||||||||||||
Результаты расчета неразрезной балки от рассматриваемого загружения МКЭ совпадают с результатами ее расчета способом фокусных отношений.
2.6. Определение усилий в однопролетных, статически неопределимых балках на жестких опорах от заданных перемещений опор
Сведения, известные из раздела «Метод сил»
Расчет балок на жестких опорах от воздействия в виде заданных перемещений опор встречался при изучении строительной механики стержневых систем дважды: при расчете статически определимых балок и при расчете статически неопределимых балок методом сил [1, 8].
Таким образом, учащемуся известно, что в статически определимых стержневых системах от воздействий в виде заданных по направлению опорных связей смещений опор происходят только свободные (без деформации стержней стержневой системы) перемещения элементов конструкции как бесконечно жестких дисков и внутренние усилия в стержнях системы не возникают.
Поэтому в статически определимых в продольном направлении балках, изображенных на рис. 2.2,в,г, горизонтальное перемещение левой опоры (заделки) приводит к горизонтальному перемещению всей балки как жесткого целого (т.е. без продольной деформации) и не вызывает продольных сил.
В статически неопределимых системах при заданных перемещениях опор по направлению статически неопределимых связей происходит деформация части или всех стержней системы и этим деформациям соответствуют
77
усилия в сечениях стержней.
Поэтому в статически неопределимых в продольном направлении балках, изображенных на рис. 2.2,а б, горизонтальное перемещение любой из двух опор вызовет соответствующую продольную силу (сжимающую или растягивающую). Например, для обеих балок длиной l с продольной жесткостью EF при единичном продольном смещении левой опоры вправо получим одинаковую продольную силу N = −EF / l . Знак «минус» показывает, что балка при таком смещении опоры будет сжата.
Изгибные деформации балок, которые вызывают усилия M è Q , получаются от перемещений любой из двух опор балок в направлении, перпендикулярном осям балок, а также от поворота опор в виде заделок.
Типовые эпюры усилий M и значения соответствующих опорных реакций от воздействий в виде единичных по значению поперечных к оси балки линейных смещений опор или поворотов защемляющих опор приведены в табл.2.3 данного учебного пособия.
|
|
Т а б л и ц а 2.3 |
Схема балки и воздействия |
|
Эпюра M и реакции |
1 |
3EI / l2 |
|
|
|
|
|
|
3EI / l3 |
1 |
3EI /l |
|
|
|
|
|
|
3EI / l2 |
|
6EI / l |
6EI / l |
1 |
|
|
1 |
|
2EI / l |
|
|
|
|
4EI / l |
|
78 |
|
|
Пусть |
требуется построить |
эпюры M |
для балки, изображенной на |
рис 2.2, а от заданных единичных |
перемещений ее заделки (X A = 1, ZA = 1, |
||
UYA = 1) и |
перемещения ZB =1 |
шарнирной |
опоры (перемещения здесь |
отнесены к общей системе координат, см. рис. 2.2, а).
Всоответствии с ожидаемым линейным видом эпюр M от воздействия в виде заданных перемещений опор (см. табл. 2.3) расчетную схему балки для МКЭ в этом случае можно представить в виде одного КЭ типа 2 (рис. 2.5). Отнесем расчетную схему МКЭ балки к общей системе координат с осями X, Y, Z.
Для ввода заданных перемещений опор используются так называемые «нуль-элементы» (НЭ). Понятие о них дано в справке к программе SCAD.
Внашем пособии, как и в программе SCAD, не рассматривается теоретическая часть построения НЭ, а поясняется только процедурная часть его применения. Приведем некоторые пояснения, основанные на материалах справки к программе SCAD.
1. Ввод нуль-элементов. К опорным узлам 1 и 2 балки (см. рис. 2.5), в которых требуется задать перемещения, вместо обычных жестких связей подсоединяются соответствующие опорам специальные нуль-элементы.
Для пользователя НЭ представляется как стержневой элемент с узлами 1 и 2 (номера в МСК). Узел 1 принадлежит рассчитываемой конструкции. Именно в нем требуется задать перемещение, от которого будет
Z |
|
Свободный узел |
|
|
рассчитываться |
|
стержневая |
|||||
|
|
|
система. Узел 2 – свободный. |
|||||||||
X1 |
нуль-элемента |
|
X1 |
|||||||||
|
|
Так |
как |
в |
пособии |
|||||||
3 |
|
Условное изображение |
4 |
|
||||||||
|
рассматриваются плоские стерж- |
|||||||||||
|
|
нуль-элемента |
|
Z1 |
||||||||
|
|
|
невые |
системы, |
состоящие |
из |
||||||
1 |
|
Y |
|
|
||||||||
|
X |
1 |
2 |
|
элементов типа 2 для плоской |
|||||||
Y1 |
|
Z1 |
|
Y1 |
|
рамы, |
то внешне НЭ выглядит и |
|||||
Обычный КЭ типа 2 |
|
вводится так же, как стержневой |
||||||||||
|
Обычная жесткая опорная связь |
КЭ типа 2. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Рис. 2.5 |
|
|
|
В |
данном |
примере |
(см. |
||
|
|
|
|
|
рис. 2.5) сначала введем НЭ, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
подсоединив его к узлу 1 расчетной схемы балки для МКЭ. Этот узел в НЭ |
||||||||||||
считается первым. Для ввода второго |
узла |
НЭ |
выполним |
следующие |
||||||||
процедуры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1. |
С |
помощью кнопки |
«Узлы» |
раздела Узлы |
и |
элементы |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79 |
открываем инструментальную панель для операций с узлами и нажимаем
кнопку 
«Ввод узлов». Откроется диалоговое окно, в котором надо задать координаты свободного узла 2 НЭ (номер в МСК нуль-элемента). В нашем примере приняты следующие координаты узла 2
НЭ: X = 0, Y = 0, Z = 1. В результате в расчетную схему вводится узел с номером
3в ОСК (см. рис. 2.5).
1.2.Нажатием кнопки 
«Элементы» открываем инструментальную панель, соответствующую работе с элементами, на которой нажимаем кнопку
«Ввод нуль-элементов». Откроется диалоговое окно Характеристики нуль-элемента (приведена часть этого окна, соответствующая типу рассматриваемой схемы «Плоская рама»).
В окне вводятся положительные жесткости части 1-2 нуль-элемента в направлениях осей X1, Y1, Z1 МСК этого элемента, соответствующих запрещаемым степеням свободы узла 1. Иными словами, при введенных (по указанным направлениям МСК) значениях жесткостей, по этим направлениям будут запрещены перемещения узла конструкции (в данном примере узла 1), к которому присоединяется НЭ.
Значения жесткостей НЭ, в общем-то, могут быть заданы произвольно, но для обеспечения вычислительной устойчивости расчета разработчиками НЭ рекомендуется задавать их соизмеримыми с реальными жесткостями элементов конструкции.
Для стальной балки в виде двутавра типа 20Б1 из базы СТО АСЧМ 20-93 с модулем упругости E = 2.1e+07 Т/м 2 и коэффициентом Пуассона ν = 0.3 жесткости балки при продольной деформации и при изгибе будут соответственно EF = 57036 Ò; EIy = 387.24 Ò×ì 2 .
В приведенной выше части окна Характеристики нуль-элемента
показаны значения жесткостей НЭ в указанных направлениях местной системы осей координат этого элемента, введенные в рассматриваемом примере.
Примечание. Далее именно по тому направлению, по которому задана жесткость НЭ, может быть задано перемещение узла 1 НЭ в МСК, а следовательно, и узла конструкции, к которой прикреплен «нуль-элемент». Это будет продемонстрировано ниже при задании перемещений узла 1.
После нажатия кнопки «ОК» окно исчезнет, а курсор приобретет активную форму. С помощью курсора (см. [11]), начиная с узла 1 к узлу 2
80
(МСК), строится линия, изображающая НЭ. При нажатых соответствующих кнопках на панели Фильтры отображения рядом с построенным элементом отобразятся сведения о нем: номер в ОСК (в нашем примере 2), тип элемента (154),
номер жесткости (2).
Аналогично вводится НЭ для задания перемещений в узле 2 расчетной схемы балки (см. рис. 2.2). Узел 2 расчетной схемы является узлом 1 НЭ в
МСК. Для построения этого НЭ на расчетной схеме вводится его свободный узел 2. В нумерации узлов в расчетной схеме он будет иметь номер 4.
Поскольку предполагается задавать только вертикальное перемещение опорного узла 2, в окне задания жесткостей этого НЭ можно задать жесткость только в направлении X1 НЭ (см. часть окна Характеристики нуль-элемента для НЭ, соответствующего опорному узлу 2 расчетной схемы для МКЭ).
Вторая опорная связь (горизонтальная) в узле 2 расчетной схемы МКЭ может быть введена как жесткая связь в направлении X ОСК (см. рис. 2.2).
2. Задание перемещений узлов с помощью нуль-элементов. С целью задания перемещений какого-либо узла с помощью нуль-элемента надо
открыть инструментальную панель раздела Загружения и нажать кнопку 
«Расчет на заданные перемещения».
Откроется одноименное диалоговое окно, в котором вводятся заданные линейные (в метрах) и угловые (в радианах) перемещения опор.
Здесь приведена часть этого окна при задании единичного вертикального перемещения заделки балки, изображенной на рис. 2.2,а, в положительном направлении оси Z общей системы осей координат ( Z A =1).
Для задания этого перемещения с помощью нуль-элемента используется местная для этого элемента система осей координат.
Ось X1 этого НЭ направлена в нашем случае вверх (узел 1 внизу, а узел 2 МСК вверху), т. е. ось X1 параллельна оси Z общей системы осей координат и
81