где будет матрицей жесткости конечного элемента в общей системе осей координат

(см. рис. 1.2 и рис. 1.13).

Можно показать [7, 8], что матрица Cr является ортогональной матрицей, для которой выполняется равенство (Cr )−1 = (Cr )т . Тогда

1.6. Формирование матрицы жесткости для расчетной схемы рамы

Для формирования матрицы жесткости K расчетной схемы рамы, изображенной на рис. 1.6, в, рассмотрим выражение (1.6). Из него следует, что

Из условия неразрывности перемещений узлов is и im элементов, сходящихся в узле i (см. рис. 1.8), с перемещениями самого узла i в состоянии II

Отсюда следует принцип формирования элементов блочной матрицы жесткости для рассматриваемой рамы (см. рис.1.6,а), которая входит в систему уравнений вида (1.13):

В рассматриваемой раме (см. рис. 1.6,в) узел i имеют элементы s и m,

58

Входящие сюда блочные матрицы для элементов s, m и t в общей системе осей координат получаются из выражения (1.51) с помощью матрицы жесткости Kr соответствующего горизонтального типового элемента и соответствующей матрицы преобразования Cr при повороте координатных осей типового элемента до его положения в заданной раме.

Для стержневой системы с n степенями свободы узлов матрица жесткости K системы уравнений (1. 12) основной задачи МКЭ будет иметь вид

1.7.Обозначения узловых перемещений и усилий в сечениях стержней

впрограмме SCAD

Перемещения узлов стержневой системы определяются в общей системе координат (см. рис. 1.2). Обозначения перемещений любого узла стержневой системы типа «Плоская рама», принятые в программе SCAD, были даны в подразделе 1.1, откуда следует, что искомый вектор перемещений u (1.3) для рассматриваемой рамы (см. рис. 1.6,а) представляется в виде:

Искомые внутренние усилия в любом сечении k конечного элемента с номером r типа 2 системы «Плоская рама» определяются в программе SCAD в местной системе осей координат и представляются вектором (1.61).

Принятые в программе SCAD положительные направления внешних узловых нагрузок и внутренних усилий, действующих на узлы и элементы стержневых систем типа «Плоская рама», были даны в пособии [2].

59

Для рамы, взятой выше в качестве примера для пояснения идеи МКЭ (см. рис. 1.5 и рис. 1.6), положительные направления внешних нагрузок, действующих на узлы, и внутренних усилий, действующих на элементы, при расчете по программе SCAD изображены на рис. 1.14.

Очевидно, что использование в настоящем учебном пособии, а также в учебных пособиях [7, 8] и в программе SCAD различных обозначений перемещений узлов, усилий в сечениях стержней и принятых для них правил знаков принципиального значения для понимания МКЭ не имеют.

Пример. Выполним расчет рамы, изображенной на рис. 1.5, МКЭ в форме метода перемещений с использованием программы SCAD.

Рама железобетонная (бетон класса В25 [14]), стойки имеют сечение 40∙40 см, ригель имеет сечение 40∙60 см, длина стоек 6 м; длина ригеля 8 м.

Требуется с помощью программы SCAD построить эпюры усилий для следующих трех загружений рамы: 1. q1 = 1Ò/ì ; 2. q2 = 1 Ò/ì ; 3. P = 8 Ò.

60

Последовательность расчета выполняется в соответствии с рекомендациями, данными в [2]. Расчетная схема МКЭ принята в виде, приведенном на рис. 1.6,а при любом из вариантов постановки одиночного шарнира в узле j . Результат расчета для заданных трех вариантов загружения приведен в виде эпюр M (рис. 1.15).

Рис. 1.15

Остальные результаты расчета рамы МКЭ в форме метода перемещений, а также их контроль здесь не приводятся. Представление результатов расчета и способы контроля известны учащемуся из учебного пособия [2].

61