координат, при условии, что узел j получил единичное перемещение в направлении t (utjr = 1), а все остальные перемещения равны нулю.

Аналогичный смысл имеют и элементы других блоков матрицы Kr .

Отсюда следует способ определения элементов матрицы Kr : надо закрепить узлы i и j элемента от смещений по направлению их степеней свободы и задать перемещение: utjr = 1 (t = 1, 3, 5).

В качестве примера продемонстрируем получение первого и третьего столбцов матрицы Kr .

Вычисление элементов первого столбца матрицы Kr

Введем в узлы i и j элемента, изображенного на рис. 1.9, защемляющие опоры (рис. 1.10,а), что эквивалентно введению связей в направлениях 1r, 3r и 5r местной системы осей координат (см. рис. 1.9,а ).

K35r ji

перемещения узлов будем полагать равными нулю. В матричном выражении (1.22) это будет равносильно заданию вектора перемещений

При заданном перемещении узла i происходит только продольная деформация сжатия стержневого элемента (см. рис. 1.10,а). Изгибающие моменты и поперечные силы в сечениях элемента не возникают. Поэтому из шести введенных связей ненулевые реакции возникнут только в двух горизонтальных связях (см. рис. 1.10,а).

52

Реакция K11r ii положительна, ее направление в узле i совпадает с направлением оси 1r местной системы осей координат (см. рис. 1.9,а). Она

Таким образом, записанный в выражении (1.23) первый столбец матрицы жесткости Kr рассматриваемого элемента в местной системе координат при

принятом здесь (см. рис. 1.9) правиле знаков для перемещений и усилий в узлах

теперь может быть представлен в виде

Вычисление элементов третьего столбца матрицы Kr

Втом же стержневом элементе с защемляющими опорами зададим в узле

iперемещение (угол поворота вокруг оси Y, т.е. в направлении 5) u5ri = 1 (см.

рис. 1.10,б). Все другие перемещения узлов будем полагать равными нулю. В матричном выражении (1.22) это будет равносильно заданию вектора перемещений

Умножив в матричном выражении (1.22) матрицу жесткости Kr на этот вектор, получим вектор узловых усилий, равный третьему столбцу матрицы жесткости Kr :

Эпюры усилий для такого стержня при заданном воздействии являются табличными (см., например, табл. 2.3 в данном учебном пособии). Эпюра M в стержне (см. табл. 2.3) приведена на рис. 1.10,б. В результате получим третий столбец рассматриваемой матрицы жесткости в виде:

53

Вся матрица жесткости Kr плоского стержневого элемента с жесткими узлами (см. рис. 1.9) в местной системе осей координат получится в виде:

Контролем построения матрицы жесткости является ее симметрия [7, 8]. В стержневых системах типа «Плоская рама» в местах расположения

шарниров обязательно назначаются узлы разделения на элементы [2], поэтому получаются элементы, изображенные на рис. 1.11.

Для элементов, изображенных на рис. 1.11,а,б, и рис. 1.11,в,г вместо векторов усилий (1.18) и перемещений (1.19) будем иметь соответствующие векторы в виде:

Линейная связь между узловыми усилиями и узловыми перемещениями в виде (1.20) остается без изменения.

54

Выражения (1.22) и (1.23) изменятся в связи с изменением структуры векторов узловых усилий и перемещений. Для элемента на рис. 1.11,а,б получим: