элементы, и вектором u (1.3) перемещений узлов имеется совпадение по правилу знаков и линейная связь, которую можно представить в виде [7]:

(элементов вектора f ). Она называется также матрицей жесткости рассматриваемой совокупности соединенных элементов.

В соответствии со структурой векторов f и u выражение (1.5) можно

Получение разрешающей системы уравнений метода перемещений

После приложения узловых нагрузок к рассматриваемой системе и возникновения в ней усилий, она в целом и любые выделенные из нее части должны находиться в равновесии под действием приложенных нагрузок, реакций в опорах и внутренних усилий в сечениях разрезанных при выделении части системы стержней.

Равновесие вырезанного узла i (см. рис. 1.8) на плоскости XOZ представляется тремя уравнениями равновесия, которые в матричной записи представляются одним уравнением

суммарных внутренних узловых усилий в элементах, сходящихся в узле i, имеют соответственно вид, приведенный соответственно в выражениях (1.2) и (1.4).

Для всего вектора fi узла i :

46

Матричное уравнение равновесия аналогичное (1.8) можно записать и для узла j. Тогда для всей расчетной схемы рамы в состоянии II (см. рис.1.6,в) получим

Структура, входящих сюда векторов, понятна из (1.2) и (1.4).

Учитывая линейную зависимость (1.5), из (1.11) получим систему

для определения вектора u (1.3) узловых перемещений, соответствующих заданному вектору p (1.2) узловых нагрузок.

Систему уравнений (1.12) в соответствии со структурой векторов u и p

Для того чтобы решить эту систему уравнений необходимо сформировать матрицу жесткости K. Этому вопросу посвящен подраздел 1.6.

Решение системы уравнений метода перемещений

После того как сформированная система линейных алгебраических уравнений (1.12) будет решена, т.е. определится вектор u (1.3) узловых перемещений расчетной схемы рамы в состоянии II (см. рис. 1.6,в), можно перейти к рассмотрению условий неразрывности

сходящихся в узле i, с перемещениями самого узла i (см. рис. 1.8) и перемещений узлов jm и jt элементов, сходящихся в узле j, с перемещениями самого узла j.

Используя эти условия неразрывности концевых сечений стержневых

47

элементов и узлов в расчетной схеме II (см. рис. 1.6,в), найдем перемещения концевых сечений элементов s, m, t (узлов элементов, см., например, рис. 1. 8).

Определение узловых усилий элементов

в общей системе осей координат

Между вектором узловых перемещений и узловых усилий любого конечного элемента с номером r в общей системе координат существует

найти вектор f r узловых усилий элемента r в общей системе координат. Эти

узловые усилия в узле im элемента em и в узле is элемента es показаны на рис. 1.8.

Вопрос о построении матриц жесткости Kr для конечных элементов в общей системе координат будет рассмотрен в подразделе 1.5.

Определение узловых усилий элементов

вместной системе осей координат

Впрограмме SCAD все внутренние усилия, действующие на концы (узлы) конечных элементов определяются в местной системе осей координат каждого элемента [2].

Вотличие от обозначения f r вектора узловых усилий элемента r в ОСК обозначение вектора усилий в узлах элемента r в МСК имеет сверху

обозначения черту: f r . Вектор f r узловых усилий элемента r в МСК определяется по вектору f r узловых усилий элемента r в ОСК с помощью матрицы Cr преобразования векторов узловых усилий элемента r при повороте координатных осей:

Вопрос о построении матрицы преобразования векторов будет рассмотрен в подразделе 1.5.

Построение эпюр усилий в конечных элементах

в состоянии II (основная задача МКЭ) и окончательных эпюр усилий

Эпюры усилий в каждом конечном элементе строятся в местной системе осей координат. При узловой нагрузке на расчетную схему рамы в состоянии II

48

(см. рис. 1.6,в) эпюры усилий на всех элементах будут линейными. Окончательные эпюры усилий в заданной раме (см. рис. 1.6, а) получатся

суммированием эпюр в соответствии с выражениями (1.1).

В программе SCAD вся процедура расчета МКЭ в форме метода перемещений автоматизирована.

При этом результаты расчета получаются как в графическом виде (в виде картины деформаций стержневой системы и в виде эпюр усилий), так и в табличной форме.

Значения перемещений в узлах расчетной схемы выдаются в программе SCAD в общей системе осей координат.

Усилия на элементе в назначенном числе сечений получаются в местной системе осей координат. Правила знаков для усилий в любом сечении элемента были приведены в пособии [2].

Контроль полученных результатов расчета

Последним, но важным этапом решения задачи построения эпюр M ,Q.N , является контроль результатов расчета. Выполнение различных проверок результатов расчетов было продемонстрировано в [2]. К ним относятся:

1.Проверка вида эпюр усилий по признакам правильных эпюр.

2.Проверка соответствия друг другу эпюр M и Q с учетом уравнения

равновесия dM / dx = Q бесконечно малого стержневого элемента длиной dx . 3. Проверка равновесия всей стержневой системы и любой ее отсеченной

части, в том числе:

3.1.Проверка равновесия моментов, действующих на любой узел i стержневой системы, с помощью уравнения равновесия узла å Mi = 0.

3.2.Проверка равновесия проекций всех сил, действующих на узел i, на

любую ось, в том числе координатную ( å Xi = 0; åZi = 0 ).

Примечание. В приведенной выше последовательности расчета плоских стержневых систем типа «Плоская рама» ряд вопросов МКЭ пока оставлены без рассмотрения.

К ним относится вопрос о том, что вектору f r (1.17) в местной системе осей

координат соответствует вектор ur . Эти векторы связаны друг с другом формулой (1.20), аналогичной приведенному выше выражению (1.16), записанному в общей системе осей

координат. Матрица Kr в (1.20) является матрицей жесткости КЭ с номером r в местной системе осей координат. Связь между матрицами, входящими в выражения (1.16) и (1.20)

осуществляется с помощью матрицы преобразования Cr в виде (1.17).

Построение матриц жесткости элементов в местной системе осей координат и в общей системе осей координат будут рассмотрены в подразделах 1.4 и 1.5.

49

В подразделе 1.5 будет рассмотрено и построение матриц преобразования Cr для перехода от векторов узловых перемещений и усилий из одной системы координат в любую другую систему координат;

Формирование матрицы жесткости для разрешающей системы уравнений будет рассмотрено в подразделе 1.6..

1.4.Плоские стержневые конечные элементы

вместной системе осей координат

Предположим, что имеется состояние II плоской стержневой системы типа «Плоская рама» и в этом состоянии в совокупности стержневых конечных элементов имеется элемент er (r – номер элемента) с двумя жесткими узлами i и j (рис. 1.9), где i и j – номера узлов в расчетной схеме.

Выделим этот элемент и отнесем его к местной системе осей координат, указывающей положительное направление усилий (рис. 1.9,а) и перемещений (рис. 1.9,б) в его узлах.

Введем обозначения составляющих узловых усилий и перемещений и обозначения соответствующих им векторов в местной системе осей координат

(1.18), (1.19).

Поскольку рассматриваемый элемент является линейно-деформируемым, то вектор f r узловых усилий этого элемента линейно связан с вектором ur узловых перемещений.

50

Так же как для общей системы осей координат (см. (1.16)) запишем эту связь в виде [7]:

где матрица K r представляет собой матрицу влияния составляющих перемещений узлов элемента на составляющие усилий в этих узлах в местной системе осей координат. Она называется также матрицей жесткости рассматриваемого конечного элемента в местной системе осей координат. Ее структура соответствует структуре векторов f r и ur (см. выражения (1.18) и (1.19)). Поэтому вместо (1.20) можно также записать выражения (1.21) и (1.22):