Y (см. на рис. 1.2 общую систему координат для всей рамы). Наличие опорных связей в узле 7 и в других узлах, где поставлены опорные связи, обозначено, как и в программе SCAD, прямоугольником.

Узлы 4 и 8 закреплены от всех перемещений.

Всего в расчетной схеме рамы для МКЭ, изображенной на рис. 1.1,б, или в виде схемы на рис. 1.4,а на экране компьютера при использовании программы SCAD, будем иметь 16 степеней свободы узлов и, соответственно, 16 неизвестных перемещений узлов.

Число степеней свободы узлов и, соответственно, число неизвестных перемещений узлов расчетной схемы рассматриваемой рамы (см. рис. 1.1,а) можно уменьшить, если изменить расчетную схему МКЭ, изображенную на рис. 1.4,а и представить ее в виде, приведенном на рис. 1.4,б. Здесь левая консоль представлена в таком же виде, как правая консоль предыдущей схемы (см. рис. 1.4,а). В результате три перемещения узла 1 будут нулевыми, как и перемещения узла 4, и будут исключены из числа неизвестных перемещений узлов. Таким образом, вместо 16 неизвестных перемещений узлов в предыдущей расчетной схеме для МКЭ (см. рис. 1.4,а) останется 13 неизвестных.

Кроме того, узел 7 предыдущей схемы (см. рис. 1.4,а) с одним неизвестным (угол поворота) на рис. 1.4,б представим так же как узел 8 с неподвижным узлом, в котором все перемещения известны (нулевые). Останется 12 неизвестных перемещений вместо 16.

Наконец обратим внимание на то, что вариант выбора схемы представления двойного шарнира в узле 6 расчетной схемы рамы (см. рис. 1.3)

на усилия в раме влияния не оказывает. Будет изменяться только угол поворота узла, так как в каждом варианте угол поворота будет относиться к стержню, к которому относится жесткий узел. Можно не ставить целью получение этого угла поворота, не влияющего на усилия в раме, и в дальнейшем в расчетной схеме рамы такой узел изображать , как и в фермах, как шарнирный узел только с двумя степенями свободы (см. рис. 1.4,б ). Тогда число основных неизвестных МКЭ в форме метода перемещений для рассматриваемой рамы уменьшится еще на единицу. Окончательно на схеме, изображенной на рис. 1.4,б вместо 16 неизвестных перемещений узлов расчетной схемы, изображенной на рис. 1.4,а, будет только 11 неизвестных перемещений: по три перемещения узлов 2, 3, 5 и два линейных перемещения узла 6.

1.2. Вспомогательная и основная задачи метода конечных элементов

Расчет стержневой системы методом конечных элементов в форме метода

40

перемещений выполняется как сумма решения двух задач: вспомогательной и основной.

Вспомогательная задача МКЭ приводит все не узловые статические воздействия на конечные элементы (в виде нагрузок, изменения температуры элементов и заданных перемещений их узлов) к узловым воздействиям.

В основной задаче МКЭ производится расчет системы в виде совокупности элементов и узлов на полученную во вспомогательной задаче узловую нагрузку [7−10].

Расчет стержневых систем МКЭ с использованием этих двух задач рассмотрим на примере более простой плоской рамы (рис. 1.5), чем рассмотренной выше на рис. 1.1,а.

Рис. 1.5

При построении расчетной схемы рамы, изображенной на рис. 1.5, для ее расчета МКЭ с помощью программы SCAD разделим раму узлами на стержневые КЭ типа 2 «Стержень плоской рамы».

Нагрузку в виде сосредоточенной силы можно сразу сделать узловой, назначив в месте ее приложения узел. Такой прием был применен при расчете статически определимых шарнирных балок и рам [2].

Возможен и другой способ приведения нагрузки на элемент к узловой нагрузке, который в рамках вспомогательной задачи позволяет привести к узлам элемента как распределенную, так и узловую нагрузки. Для использования этого приема представим разбивку рассматриваемой рамы на КЭ в виде, показанном на рис. 1.6,а.

На рис. 1.6,б,в схематически изображен смысл использования вспомогательной (I) и основной (II) задач МКЭ для построения эпюр усилий M , Q, N в заданной раме. Видно, что эпюры усилий в заданной раме (рис. 1.6,а) соответственно равны сумме эпюр усилий в состояниях I и II рамы (рис. 1.6,б,в), т.е. рис. 1.6 отражает равенства:

41

Состояние I заданной рамы получено из расчетной схемы рамы для МКЭ, (см. рис. 1.6,а), введением связей в узлы i и j по направлению их степеней свободы.

На рис. 1.6, б введение трех связей в жесткий узел i представлено в виде введения заделки, а введение двух связей в шарнирный узел j – введением шарнирно-неподвижной опоры. В результате из расчетной схемы рамы для МКЭ получилась система элементов с неподвижными связями в узлах.

В такой системе расчет каждого элемента можно выполнять независимо от других . Иными словами, эпюры MI, QI, NI от заданных внешних воздействий

всостоянии I могут быть построены отдельно для каждого элемента.

Сзадачей определения опорных реакций и построения эпюр усилий в плоских прямых стержнях, неподвижно прикрепленных к жесткому основанию тремя связями (статически определимые стержни), четырьмя, пятью и шестью связями (статически неопределимые стержни), учащийся уже встречался при расчете статически определимых и статически неопределимых стержневых систем методом сил [1].

Результаты таких расчетов для наиболее часто встречающихся вариантов статических воздействий на плоские стержни представлены в табл. 2.1 в разделе 2 данного пособия.

При отдельном расчете элементов с закрепленными узлами получаются не только эпюры усилий на элементе, но и реакции в дополнительно введенных связях (см. табл. 2.1), поэтому в узлах расчетной схемы МКЭ, где сходятся два элемента и более, можно вычислить суммарные опорные реакции в

42

дополнительно введенных связях.

На рис. 1.6,б суммарные реакции в заделке узла i и шарнирной опоре узла j показаны пунктирными линиями в виде векторов сил (и момента в заделке узла i). Их направления показаны условно положительными в соответствии с принятой на рис. 1.2 общей системой осей координат.

Первый индекс у обозначений реакций отображает номер направления перемещения узла в общей системе осей координат (см. рис. 1.2), которому соответствует введенная связь.

В состоянии рамы I действие на нее введенной заделки в узле i и введенной шарнирной опоры в узле j (см. рис. 1.6,б) можно заменить действием найденных в этих опорах суммарных опорных реакций (рис. 1.7,б). Тогда эпюры MI, QI, NI в состоянии рамы I можно считать эпюрами от заданных внешних нагрузок и узловых сил, изображенных на рис. 1.7, б.

Отсюда понятен смысл расчета рамы в состоянии II от действия узловых нагрузок (см. рис. 1.6,в), которые численно равны соответствующим узловым нагрузкам в состоянии I (см. рис. 1.7), но имеют противоположные им направления.

Суммирование нагрузок в состояниях I (см. рис. 1.7) и II (см. рис.1.6,в) приводит к уничтожению узловых нагрузок и получению заданных нагрузок на раму (см. рис. 1.6,а).

Результатом расчета рамы в состоянии II являются эпюры M II,QII, NII , поэтому суммирование усилий в состояниях I и II (1.1) приводит к получению эпюр усилий в заданной раме (см. рис. 1.5 и рис. 1.6,а).

1.3. Последовательность решения основной задачи МКЭ

методом перемещений

Принятые обозначения узловых величин

в общей системе осей координат

43

Ход решения основной задачи МКЭ методом перемещений рассмотрим на примере расчетной схемы с узловой нагрузкой, изображенной на рис. 1.6,в.

Будем считать, что схема отнесена к общей системе осей координат, изображенной на рис. 1.2. Этим, как было показано в предыдущем подразделе, определяются индексы у обозначений узловых нагрузок, перемещений узлов и возникающих внутренних узловых усилий.

Примечания.

1. При изложении хода расчета стержневых систем МКЭ будем использовать обозначения и методику, принятые в изданных на кафедре СМ и ТУ СПбГПУ учебных пособиях [7, 8].

Верхний индекс в обозначениях величин обозначает номер конечного элемента. Первый нижний индекс обозначает направление усилия или перемещения в

соответствии с номером оси координат (общей или местной).

Второй нижний индекс обозначает номер узла в расчетной схеме.

Черта над символом усилий, перемещений или других величин означает принадлежность их к местной системе осей координат.

Строчными буквами полужирного шрифта обозначаются векторы-столбцы. Прописными буквами полужирного шрифта обозначаются прямоугольные матрицы. Символы ( );т и ( )-1 обозначают соответственно операцию транспонирования и операцию обращения матриц.

2.В то же время учтено, что d программе SCAD плоская стержневая система расположена в плоскости XOZ (см. рис. 1.2).

В связи с этим (в отличие от учебных пособий [7, 8]), вертикальная ось обозначена Z (3), а направление перемещения узла в виде угла поворота UY происходит вокруг оси Y и обозначено номером 5 (см. рис. 1.2).

3.Переход от обозначения величин, принятых в учебном пособии, к обозначениям, принятым в программе SCAD, сделан в пособии после рассмотрения основной задачи метода конечных элементов в форме метода перемещений.

Введем обозначения (1.2) векторов узловых нагрузок на раму (см. рис. 1.6,в):

Действие внешней узловой нагрузки вызовет деформацию рамы. Ее узлы получат перемещения, которые представим в виде векторов

Во внутренних связях, присоединяющих стержневые конечные элементы

44

типа 2 «Стержень плоской рамы» к узлам i и j, возникнут внутренние усилия. Удалим внутренние связи, соединяющие элементы с узлами рамы,

заменив их соответствующими усилиями, действующими и на узлы и на элементы. Это показано на примере узла i (рис. 1.8).

Внешние узловые нагрузки, действующие на узел i, и внутренние усилия, действующие на узлы i элементов, показаны в соответствии с приведенной общей системой осей координат как положительные величины.

Внутренние усилия, действующие на вырезанный узел i системы, будут иметь направления, обратные по сравнению с соответствующими усилиями, действующими на элементы и, следовательно, будут отрицательными величинами (на рис. 1.8 они показаны штриховыми линиями).

Векторы внутренних усилий, действующие на концы (узлы) конечных элементов, представим в виде векторов

Поскольку рассматривается линейно-деформируемая система, то между вектором f (1.4) внутренних узловых усилий, действующих на конечные

45