1. ПРИМЕНЕНИЕ МКЭ В ФОРМЕ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

1.1.Представление стержневой системы как системы соединенных в узлах стержневых элементов

Все стержневые системы (фермы, балки, рамы, арки и другие) при решении основной задачи строительной механики (определение перемещений, усилий и деформаций от заданных внешних воздействий, [1]) можно рассматривать как системы типовых стержневых элементов, соединенных между собой и с основанием в жестких и шарнирных узлах.

Вучебных пособиях [7−10] показано, что типовые элементы для стержневых систем могут иметь различную геометрическую форму, в том числе вид прямолинейного стержня.

Впрограмме SCAD, где реализуется алгоритм метода конечных элементов в форме метода перемещений, для расчета стержневых систем используются только прямолинейные стержневые элементы. Поэтому, в данном учебном пособии ограничимся вариантом представления стержневой системы только как системы прямолинейных стержневых элементов, соединенных между собой и с основанием узлами (рис. 1.1)*).

Впринципе каждый из стержней рамы, приведенной на рис. 1.1,а, может быть разделен на любое конечное число стержневых элементов отличающихся от приведенных стержней только длиной. На рис. 1.1, б показана расчетная схема рамы, когда рама разбита на минимальное число стержневых элементов (каждый элемент равен длине соответствующего стержня рамы).

На начальной стадии ознакомления с реализацией МКЭ в программе SCAD обратим внимание на следующие три фактора.

1. В МКЭ конечные элемент, на которые разбита стержневая система считаются соединенными не друг с другом, а присоединенными к узлам.

Врасчетной схеме рамы (см. рис. 1.1, б) каждому стержневому элементу соответствуют два узла.

*) Рисунок взят из книги, написанной разработчиками программы SCAD. Учащиеся могут воспользоваться ею в учебном классе ПК кафедры СМ и ТУ.

36

Рис. 1.1

2.В МКЭ в форме метода перемещений за неизвестные принимают перемещения всех узлов расчетной схемы по направлениям степеней свободы узлов.

3.Все перемещения узлов определяются в общей системе координат

XYZ, к которой относится расчетная схема стержневой системы (рис. 1.2).

алгоритма МКЭ.

В программе SCAD предполагается, что расчетная схема плоской стержневой системы находится в плоскости XOZ, поэтому положение жесткого узла i на этой плоскости определяется линейными перемещениями

37

u1i , u3i и углом поворота u5i вокруг оси Y. В таблицах с результатами расчетов в программе SCAD эти перемещения соответственно обозначаются в виде X, Z, UY (им соответствует нумерация направлений: 1, 3, 5).

Рассмотрим рис. 1.1,б с точки зрения присоединения (прикрепления) стержневых элементов к отдельным объектам расчетной схемы – узлам внутренними связями.

Стержневой элемент, представляющий собой левую консоль рамы, прикрепляется к каждому из жестких узлов 1 и 2 тремя жесткими связями. Это означает, что линейные перемещения и угол поворота левого и правого концов элемента равны соответственно перемещениям жестких узлов 1 и 2.

Аналогичная схема могла бы быть использована и для правой консоли. Но в приведенном на рис. 1.1,б варианте расчетной схемы рамы правый консольный элемент представлен в виде статически определимого элемента, жестко прикрепленного левым концом к узлу 3. Между правым концом этой консоли и узлом 4 все три внутренние связи удалены, а сам узел 4 считается жестко прикрепленным тремя внешними жесткими связями к жесткому основанию. Для такой схемы представления консоли в результате расчета рамы МКЭ в форме метода перемещений будут определены перемещения только левого конца правой консоли (перемещения отделенного от консоли узла 4 будут нулевыми).

Также жестко прикреплены к узлам 2 и 3 другие элементы рамы.

К узлу 5 (см. рис. 1.1,б) вертикальные элементы крепятся жестко, т.е. тремя связями, а горизонтальный элемент – шарнирно, т.е. двумя связями.

Это соответствует изображению узла 5 в заданной расчетной схеме рамы, когда шарнир явно расположен на горизонтальном стержне (см. рис. 1.1,а).

Двойной шарнир в узле 6 заданной рамы (см. рис. 1.1,а) может быть отражен в расчетной схеме рамы для МКЭ по-разному. В варианте расчетной схемы, изображенном на рис. 1.1,б, предполагается, что двойной шарнир в узле 6 представлен в виде двух одиночных шарниров, поставленных на стойках рамы (рис. 1.3,а).

На рис. 1.3,б,г представлены еще два варианта постановки двух одиночных шарниров в узле 6. Если бы были выбраны такие представления узла 6 на заданной раме, то на расчетной схеме, изображенной на рис. 1.1,б им соответствовали бы два варианта прикрепления элементов к узлу 6, показанные на рис. 1.3,в,д.

Шарнирные опоры 7 и 8 на схеме заданной рамы одинаковы. Но на расчетной схеме рамы для МКЭ (см. рис. 1.1, б) они представлены в виде двух

38

различных схем. В расчетной схеме рамы с шарнирной опорой можно применять любую из указанных двух схем, так как обе они описывают шарнирную опору.

Рис. 1.3

При использовании программы SCAD расчетная схема, изображенная на рис. 1.1,б, представляется на экране компьютера в виде, показанном на рис. 1.4,а.

Рис. 1.4

С таким изображением расчетной схемы рамы для использования МКЭ в форме метода перемещений учащийся уже встречался в первой части учебного пособия [2].

Всхеме, изображенной на рис. 1.1,б, жесткие узлы 1, 2, 3, 5, 6 имеют по три степени свободы.

Вузле 7 введены две опорных связи, закрепляющие его от горизонтального и вертикального перемещений. Таким образом, узел 7 имеет только степень свободы – возможность поворачиваться в шарнире вокруг оси

39