2.4 Ошибка эксперимента в целом

В большинстве случаев при проведении эксперимента несколькими приборами измеряются различные величины. Для получения конечного результата эти измерения определенным образом комбинируются с помощью некоторых математических действий.

При этом может возникнуть ситуация, когда комбинация отдельных достаточно точных измерений приведет к значительным ошибкам, сводящим на нет цель эксперимента. Поэтому необходимо еще до проведения эксперимента тщательно исследовать вопрос о точности окончательного результата. При проведении такого анализа обычно предполагается, что показания всех приборов имеют случайную ошибку, либо характеризуются некоторой неопределенностью, которую можно рассматривать, как случайную ошибку.

2.4.1. Показатели точности произведения и частного

К числу наиболее распространенных функций, встречающихся в экспериментальной работе, относятся комбинации произведений и частных (безразмерные величины). Типичными примерами являются: число Рейнольдса – произведение скорости, длины и плотности деленное на вязкость, число Маха – отношение скорости объекта к скорости звука, коэффициент усиления, представляющий отношение измерения напряжения на выходе к измерению напряжения на входе и т.п.

Рассмотрим общий результат, который является линейной функцией произведения двух измеряемых величин x и y:

R=kxy, (2.6)

где k – некоторый нормируемый множитель, значение которого известно точно.

Допустим, что величинам xиyсоответствуют выборочные средние квадратичные отклоненияS_xиS_y. Еслиx₁иy₁отклонения от точного значенияx_c и y_c, обусловленные наличием случайной ошибки, то для каждой конкретной пары отсчетов выражение (2.6) примет вид

R_c + r₁ = k (x_c +x₁)(y_c + y₁), (2.7.)

где r₁ – отклонение результата.

Далее

R_c + r₁ = k(x_c y_c + x₁y_c + x_cy₁ + x₁y₁), (2.8.)

где членом второго порядка x₁ y₁ можно пренебречь.

Используя зависимости (2.6) и (2.8), можно найти отклонения результата для каждого измерения

r₁ = k(x₁y_c + y₁x_c) ,

r₂ = k(x₂y_c + y₂x_c) , ……., r_i = k(x_iy_c + y_ix_c) .

Из определения среднеквадратичного отклонения следует

Просуммировав n уравнений, получим

член полагаем равным нулю, т. к. любое произведениеx и y с равной вероятностью может быть как положительным, так и отрицательным, и для большой выборки сумма таких произведений будет стремиться к нулю. Подставив в последнее выражение зависимость для дисперсии общей ошибки, находим

(2.9)

откуда легко получить следующую зависимость

(2.10)

Можно показать, что полученное соотношение справедливо для случая, когда R=kx/y , и что при R=kxy/z необходимо использовать выражение

(2.11)

Член S_r²/R_c², представляющий собой отношение среднего квадратичного отклонения к точному отсчету, является показателем точности, который можно выразить в процентах и называется вариацией. Полученное выражение является математической формулировкой следующего правила: если результат является функцией отношений либо произведений нескольких величин, то квадрат относительной ошибки результата равен сумме квадратов относительных ошибок отдельных измерений.