2.2. Показатели случайной ошибки
Точность интересующей нас измерительной системы удобно выражать некоторым одним числом или показателем точности. К таким показателям относятся среднее квадратичное отклонениеσ, которое определяется как корень квадратный из суммы квадратов всех отклонений, деленный на общее число наблюдений минус единица
(2.2.)
Вторым также часто используемым показателем точности является вероятное отклонениеE. Эта величина определяется как такое отклонение, при котором в интервале±Eнаходиться ровно половина случайных значений исследуемой величины. Вероятное отклонение очень широко используют для оценки результатов стрельбовых испытаний снарядов – характеристик кучности боя, рассеивания начальной скорости и т.д.
E=0,6745σ
2.3. Наилучшая оценка измерений
Часто при измерениях
приходиться решать два вопроса:
как получить наилучшую оценку отсчета
при некотором множестве измерений и
сколько отсчетов следует брать?
Рассмотрим выборку из n отсчетов, содержащую значения х1, х2, х3, … , хn, полученные при измерении одной и той же величины.
Наилучшим отсчетом
принято считать такой, для которого
выполняется выражение
,
т.е. сумма квадратов отклонений от
наилучшего или точного отсчетаxс
должна быть минимальной.
Это выражение является следствием оценки погрешности измерения с помощью среднего квадратичного отклонения и лежит в основе метода наименьших квадратов, который широко используется при обработке экспериментальных данных.
Можно показать, что для нормального закона распределения из приведенного выражения вытекает
(2.3)
т.е. наиболее вероятное значение наилучшего отсчета равно среднему арифметическому значению полученных n осчетов.
Следует подчеркнуть, что среднее арифметическое является наилучшим значением только в случае нормального распределения ошибок. В случае несимметричного закона распределения среднее не всегда будет наилучшей оценкой.
Заметим, что в случае конечного числа наблюдений мы имеем дело с выборочной дисперсией 2 и выборочным средним xc, которые используются как оценки параметров генеральной совокупности. Приближение оценок к действительным значениям происходит с увеличением числа наблюдений. Для среднего это приближение обратно пропорционально корню квадратному из числа отсчетов, по которым получено это среднее значение. Так при 16 отсчетах точность лишь в два раза выше, чем при четырех, а при 64 отсчетах – лишь в четыре раза. С другой стороны, всего лишь при четырех отсчетах точность в два раза выше, чем при одном, поэтому часто бывает целесообразно делать несколько повторных отсчетов.
Для нахождения несмещенных оценок среднего xc* и дисперсии (s*)2 выборки, используются известные зависимости
(2.4)
В практиктических расчетах для вычисления оценки дисперсии часто бывает удобна формула
(2.5)
Существование нормального распределения случайных ошибок выполняется не всегда. Однако, допущение о нормальности является удобной аппроксимацией для многих распределений, реально наблюдаемых при выполнении измерений различного рода.