Лекция №2 Ошибки измерений
План лекции
2.1. Виды ошибок.
2.2. Показатели случайных ошибок.
2.3. Наилучшая оценка измерений.
2.4. Ошибки эксперимента в целом.
2.1. Виды ошибок
Отклонение реального результата измерения от истинного значения называется ошибкой наблюдения. При анализе результатов наблюдений различают ошибки трёх видов: систематические, грубые и случайные.
Систематическими называются ошибки одинаковые и повторяющиеся во всей серии наблюдений. Эти ошибки связаны обычно с неправильным проведением эксперимента: неисправленными измерительными приборами, ошибкой экспериментатора, снимающего показания, наличием неучтённых, но постоянных факторов (например, изменившаяся температура, влажность и т.п.).
Грубые ошибки – это ошибки, связанные с резким нарушением условий испытания при отдельном наблюдении. Сюда относятся ошибки, вызванные толчком или поломкой прибора, грубым просчётам экспериментатора, непредвиденным посторонним вмешательством и т.д. Если систематическая ошибка характеризуется в первую очередь своей неизменностью во всей серии испытаний, то грубая ошибка присутствует обычно не более чем в одном – двух испытаниях и характерна именно своим отличием по величине от прочих рядовых ошибок.
К случайным ошибкам относят все остальные виды ошибок. Распределение случайных ошибок обладает одной важной особенностью – оно симметрично относительно нуля. Это значит что ошибки, противоположные по знаку, но одинаковые по абсолютной величине, встречаются одинаково часто в среднем. Если такой симметрии нет, то всегда из рассматриваемой ошибки можно выделить систематическую или соответствующую грубой ошибке составляющую, так что остаток, отражающий собственно случайную ошибку, будет иметь симметричное относительно нуля распределение.
Из симметричного распределения случайных ошибок втекает важный вывод: при отсутствии систематических и грубых ошибок истинный результат наблюдения есть математическое ожидание соответствующей случайной величины. В связи с этим особую важность приобретает проблема освобождения результатов наблюдений от всех систематических грубых ошибок.
Если от систематической ошибки не удается избавиться, ее можно учесть – для этого достаточно найти ее величину. Для этого обычно используют следующий прием: заменяют изучаемый объект другим, достаточно изученным (эталоном) и проводят над ним ту же серию испытаний. Если такую замену произвести невозможно, изучают систематические ошибки каждого прибора в отдельности. Устранению систематических ошибок помогает и более тщательный учет всех действующих факторов – температуры, давления и т.д.
Грубые ошибки учесть заранее невозможно, поэтому с ними нужно бороться в процессе самих испытаний, проводя их достаточно тщательно. Если все же появляется сомнение в каком-либо из наблюдений, то соответствующее значение ни в коем случае нельзя исправлять, подгоняя под остальные – лучше совсем его отбросить. Однако здесь следует быть осторожным, чтобы не испортить картину распределения, при появлении сомнений в отдельных результатах лучше переделать всю серию опытов. В отдельных случаях можно воспользоваться специальным критерием, позволяющим совершенно объективно выделять в каждой серии наблюдений грубые ошибки.
Предположим,
что нам нужно измерить длину жесткого
стержня. Проведя серию измерений
различными мерительными инструментами,
мы получим ряд несколько отличающихся
друг от друга результатов. Рассмотрев
небольшие равные интервалы длиной∆X,
и, определив число отсчетов, попадающих
в каждый интервал, получим гистограмму
(рис.2.1.). Соединив
значения частот, соответствующих
серединам интервалов, получим ломанную
кривую, называемую полигоном.
Гистограмма и
полигон представляют собой эмпирические
распределения, т.е. распределения,
построенные на основе опыта.
Рис. 2.1. Гистограмма и полигон распределения, полученные при
измерении длины стержня (f – число отсчётов в интервале Δх).
При большом количестве отсчетов и величине интервала, стремящимся к нулю, в пределе получим некоторую плавную кривую распределения. Наиболее часто встречаются распределение – нормальное или распределение Гаусса. Плотность вероятности для этого распределения описывается выражением
(2.1)
Приведенная функция распределения непрерывна и описывает совокупность, содержащую бесконечно большое число измерений, так называемую генеральную совокупность, из которой для исследования берутсявыборки.