5.3. Дробный факторный эксперимент. Минимизация числа опытов

Во многих практических случаях на первом этапе исследования нужно получить лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи. Количество опытов в полном факторном эксперименте значительно превышает число коэффициентов линейной модели. Сокращение числа опытов возможно при использовании дробного факторного эксперимента.

Обратимся к матрице полного факторного эксперимента 2². Пользуясь таким планированием, можно вычислить четыре коэффициента и представить результаты эксперимента в виде уравнения:

.

Как и в случае корреляционно – регрессионного анализа, оно является оценочным по отношению к теоретическому уравнению

.

Коэффициенты регрессии b₀, b₁, b₂, b_1,2 являются оценками параметров ₀, _1, ₂, _1,2.

Предложим, что взаимодействие факторов и отсутствует, тогда достаточно определить коэффициенты b₀, b₁, b₂ так как b_1,2 = 0. В этом случае вектор – столбец матрицы 2² можно использовать для нового фактора .

При построении дробного факторного эксперимента используютследующее правило: чтобы сократить число опытов, вводя в планирование новый фактор, нужно поместить этот фактор в вектор столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию которым можно пренебречь.

Преобразуем матрицу полного факторного эксперимента 2² (Таблица 6.4.), поставив вместо взаимодействия фактор, и добавим два столбца произведений и . В результате получим новую матрицу планирования (Таблица 6.5.)

Таблица 5.5.

№ опыта				()
1	+	-	-	+	-	-
2	+	+	-	-	-	+
3	+	-	+	-	+	-
4	+	+	+	+	+	+

Полученная матрица обладает всеми свойствами матрицы полного факторного эксперимента, то есть каждый столбец матрицы, кроме первого, содержит равное число +1 и –1. Сумма произведений каждой пары столбцов, исключая два последних, также равна нулю. Особенность новой матрицы заключается в том, что элементы столбца совпадают с элементами столбца , а элементы столбца– с элементами столбца, т.е. если с помощью новой матрицы определить коэффициенты уравнения регрессии:

,

то соответствие b₁→ ₁, b₂→ ₂, b₃→ ₃, будет нарушено, т.к. найденные коэффициенты будут оценками совместных эффектов:

b₁→ ₁+₂₃, b₂→ ₂+₁₃, b₃→ ₃+_12.

Поскольку ищется линейная модель, предлагается, что эффекты взаимодействия равны нулю и поэтому:

b₁₁, b₂ ₂, b₃ ₃.

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, мы воспользовались половиной полного факторного эксперимента 2³или ”полурепликой”. Если бы мыприравняли к -, то получили бы вторую половину матрицы 2³:

b₁→ ₁-₂₃, b₂→ ₂-₁₃, b₃→ ₃-_12.

При реализации обеих полуреплик можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействия, поскольку объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный эксперимент 2³.

Матрица из восьми опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от полного факторного эксперимента 2⁴, а для пятифакторного планирования – четверть – репликой от эксперимента 2⁵. В последнем случае уже два линейных эффекта приравниваются к эффектам взаимодействия. Для обозначения дробных реплик, в которыхpлинейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться обозначением 2^р-1и т.д.

При построении полуреплики 2^3-1существует две возможности приравнятьк или -. Поэтому есть только две полуреплики 2^3-1(Таблицы 5.6, 5.7).

Таблица 5.6.

№ опыта	1 матрица =
1	-	-	+	+
2	-	+	-	+
3	+	-	-	+
4	+	+	+	+

Таблица 5.7.

№опыта	2 матрица = -
1	-	-	-	-
2	-	+	+	-
3	+	-	+	-
4	+	+	-	-

Для произведения трех столбцов матрицы 1 выполняется соотношение +1 = , а для матрицы 2 – соотношение –1 = . Символическое обозначение произведения столбцов, равное +1 или –1, называетсяопределяющим контрастом. Контраст помогает определять смешанные эффекты. Чтобы определить какой эффект смешан с данным, нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так если 1 = , то, так как= 1.

Аналогично можно определить, что ,.

Полученные соотношения, показывающие, с каким из эффектов смешан данный эффект, называются генерирующими соотношениями.

Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью три, по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте.

При отсутствии априорной информации об эффектах взаимодействия необходимо выбирать реплику с наибольшей разрешающей способностью, т.к. тройные взаимодействия обычно менее важны, чем парные.

Дробные реплики широко применяются при получении линейных моделей. Эффективность их применения зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия, а также умелой стратегией экспериментирования в случае значимости некоторых взаимодействий. Следует, однако, иметь в виду, что применение дробного факторного эксперимента имеет серьезный недостаток – исключение из исследования некоторых взаимодействий факторов, которые иногда помогают раскрыть сущность процесса.