5.2. Полный факторный эксперимент типа 2k

Первый этап планирования эксперимента для получения линейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях. Если число факторов известно, то можно сразу найти число опытов, необходимых для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов, N = 2^k,, гдеN– число опытов,2– число уровней,k– число факторов. В общем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторном экспериментом.

Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. Такие таблицы называют матрицами планирования эксперимента. Каждый столбец в матрице планирования называют вектор - столбцом, а каждую строку- вектором – строкой. Ниже (таблицы 5.1, 5.2.) приведены два варианта записи матриц планирования, в которых имеются два вектора – столбца независимых переменных и один вектор – столбец параметра оптимизации.

Таблица 5.1.

№ опыта			Y
1	-1	-1	Y1
2	+1	-1	Y2
3	-1	+1	Y3
4	+1	+1	Y4

Таблица 5.2.

№ опыта			Буквенное обозначение	Y
1	-	-	1	Y1
2	+	-	a	Y2
3	-	+	B	Y3
4	+	+	ab	Y4

Для сокращения записи матрицы планирования вводят буквенные обозначения. Для этого порядковый номер фактора ставится в соответствии со строчной буквой латинского алфавита: – a, – b и т.д. Если теперь для строки матрицы планирования выписать латинские буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях, то условия опыта будут заданы одинаково.

При переходе от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности используется следующий прием. При добавлении нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается дважды: в сочетании с нижнем и верхним уровнями нового фактора. Следовательно, можно записать исходный план для одного уровня нового фактора, а затем повторить его для другого уровня (таблица 5.3).

Таблица 5.3.

№ опыта				Буквенное обозначение	Y
1	-	-	-	1	Y1
2	+	-	-	a	Y2
3	-	+	-	b	Y3
4	+	+	-	ab	Y4
5	-	-	+	c	Y5
6	+	-	+	ac	Y6
7	-	+	+	bc	Y7
8	+	+	+	abc	Y8

Матрицы полного факторного эксперимента обладают свойствами, делающими их оптимальным средством получения математической модели по результатам эксперимента. Так алгебраическая сумма элементов вектор – столбца каждого фактора равна нулю (условие симметричности)

, (5.2)

где j – номер фактора; i – номер опыта; N – число опытов.

Сумма квадратов каждого столбца равна числу опытов (условие нормировки):

. (5.3)

Сумма полученных произведений любых двух вектор – столбцов матрицы равна нулю (условие ортогональности):

. (5.4)

Точки в матрице планирования подбираются так, чтобы точность измерения была одинакова на разных расстояниях от центра эксперимента и не зависела от направления. Это свойство называется рототабельностью.

Знание этих трех свойств позволяет оценить правильность составления матрицы полного факторного эксперимента.

Так как на первом этапе планирования полного факторного эксперимента выбирается линейная модель вида (5.1), то коэффициенты уравнения b_j вычисляются по формулам:

(5.5)

Если в матрицу планирования ввести вектор – столбец фиктивной переменной X₀, которая принимает во всех опытах значение +1, расчет коэффициентов b₀ и b_j можно вести по формуле:

.

Найденные коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается и наоборот.

Следует отметить, что указанное свойство коэффициентов обусловлено предварительным масштабированием значений факторов, и не выполняется для обычного регрессионного уравнения.

Планируя эксперимент на первом этапе, мы стремимся получить линейную моделью. Однако у нас нет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью.

Чаще всего эффект нелинейности связан с тем, что влияние одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценить эффекты взаимодействия. Для этого, пользуясь правилом перемножения столбцов, надо получить столбец произведения двух факторов. При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектором – столбцом можно обращаться так же, как с вектором – столбцом любого фактора. Матрица планирования с учетом взаимодействия для полного факторного эксперимента типа 2²имеет вид, приведенный в таблице 5.4.

Таблица 5.4.

№ опыта					Y
1	+	-	-	+	Y1
2	+	+	-	-	Y2
3	+	-	+	-	Y3
4	+	+	+	+	Y4

Модель будет выглядеть следующем образом:

. (5.6)

Коэффициент b_1,2 вычисляется обычным путем

b_1,2 = [((+1)Y₁ + (-1)Y₂ + (-1)Y₃ + (+1)Y₄)] /4 . (5.7)

Таким образом, столбцы X₁ и X₂ задают планирование – по ним непосредственно определяются условия опытов, а столбцы _o и _{1 2} служат только для расчета.

С ростом числа факторов количество возможных взаимодействий быстро растет. Полное число взаимодействий любого порядка можно найти по формуле числа сочетаний:

,

где k – число факторов, m – число элементов во взаимодействии.

Факторное планирование является оптимальным в широком смысле этого слова. При выполнении условий (5.2 – 5.4) коэффициенты регрессии обладают наименьшей дисперсией, так как они определяются по результатам всех экспериментов. Так при эксперименте 2² дисперсия коэффициентов регрессии будет в четыре раза меньше дисперсии отдельного эксперимента.

Полный факторный эксперимент обладает следующими преимуществами:

• все коэффициенты регрессии определяются с одинаковой и минимальной дисперсией;

• все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга;

• информация, содержащаяся в модели, равномерно распределена вокруг центра эксперимента;

• вычисление коэффициентов регрессии осуществляется по очень простым формулам.