Лекция № 5, 6 Планирование эксперимента

План лекций

5.1. Цели и задачи планирования эксперимента. Принцип оптимальности.

5.2. Полный факторный эксперимент типа 2^k.

5.3. Дробный факторный эксперимент. Минимизация числа опытов.

5.4. Рандомизация опытов.

5.1. Цели и задачи планирования эксперимента. Принцип оптимальности

Эксперимент занимает центральное место в науке, однако возникает вопрос – насколько эффективно он используется? В некоторых работах отмечается, что большинство научных исследований организуются и проводятся настолько хаотично, что коэффициент их полезного действия может быть оценен величиной порядка 2%. Одним из возможных путей повышения эффективности исследований является применение математических методов, построение математической теории планирования эксперимента.

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий провидения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом существенно следующее:

• стремление к минимизации числа опытов;

• одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс;

• использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора.

Для определения объекта исследования используется кибернитический принцип ”черного ящика”, схема которого представлена на рисунке 5.1.

Рис. 5.1. Схема ”черного ящика”.

Стрелки y₁, y₂, y_k изображают характеристики целей исследования, которые называют параметры оптимизации. Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведения ”черного ящика”. Способы воздействия, обозначенные стрелками x₁, x₂, x_k называются факторами. Уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами, называется функцией отклика.

Каждый фактор в опыте может принимать одно или несколько значений, которые называются уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний ”черного ящика”. Одновременно это есть условия проведения одного из возможных опытов. Если перебрать все возможные наборы состояний данной системы, получим число возможных различных опытов. Чтобы узнать число различных состояний, достаточно число уровней факторов Р возвести в степень числа факторов k. Выбор минимального числа опытов осуществляется методами планирования эксперимента, основными этапами которого являются следующие:

1. Определяется параметр, который нужно оптимизировать. Параметр оптимизации должен быть:

• эффективным с точки зрения достижения цели;

• универсальным, то есть всесторонне характеризовать объект;

• количественным и выражаться одним числом;

• имеющим физический смысл, простым и легко вычисляемым;

• существующим, для всех различных состояний.

Если один параметр оптимизации определить затруднительно, строят так называемый обобщенный параметр оптимизации.

2. После того как выбран объект исследований и параметр оптимизации, нужно включить в рассмотрение все существующие факторы, влияющие на процесс. Основные требования, предъявляемые к факторам – это управляемость и однозначность.

Управлять фактором – это значит установить нужное значение и поддерживать его постоянным в течение опыта или менять по заданной программе.

Факторы должны непосредственно воздействовать на объект исследования. Основные требования к совокупности факторов – совместимость и отсутствие линейной корреляции.

3. Следующим этапом является выбор модели, то есть. определение вида функции отклика:

Y=(X₁, X₂, …, X_k).

Обычно функция отклика представляется в виде полинома некоторой степени. На первом этапе планирования эксперимента ограничиваются полиномом первой степени:

(5.1)

Основными требованиями, предъявляемыми к модели, является адекватность и простота.

Под адекватностью понимают способность модели предсказывать результаты в некоторой области с заданной точностью. Адекватность определяется после проведения опытов.

Кроме того функции отклика должна быть присуща аналитичность, то есть ее можно было бы разложить в степенной ряд в окрестностях любой точки из области определения.

4. При выборе области проведения эксперимента, прежде всего надо оценить границы области определения факторов. При этом должны учитываться различные ограничения, связанные с принципиальными ограничениями на значения некоторых факторов (абсолютный нуль для температуры), технико-экономическими соображениями и конкретными условиями проведения эксперимента.

5. Для каждого фактора должен быть выбран основной уровень и интервал варьирования. При выборе основного уровня используются сведения о приблизительных координатах ”наилучшей” точки, либо о границах определения факторов.

Для каждого фактора определяется значение двух уровней, на которых он будет варьироваться в эксперименте. Значения уровней устанавливаются путем прибавления (вычитания) некоторого числа, называемого интервалом варьирования, к основному уровню. Таким образом, задача выбора уровней сводится к более простой задаче выбора интервалов варьирования.

На выбор интервала варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора, иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения. Внутри этих ограничений обычно еще остается значительная неопределенность выбора, которая устраняется за счет индивидуальных решений. Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных, масштабы по осям изменения факторов выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний –1, а основной 0. Для факторов с непрерывной областью определения это можно сделать с помощью нормирования:

,

где – кодированное значение фактора,

X_j – натуральное значение фактора на данном уровне,

X_jo - натуральное значение основного уровня,

I_j – интервал варьирования,

j – номер фактора.