3.5. Применение теории подобия и моделирования в экспериментальных исследованиях
Как было показано, анализ размерностей позволяет существенно уменьшить число переменных, входящих в задачу. При этом, получаемые безразмерные комбинации имеют весьма общий вид и не зависят от используемой системы единиц. Безразмерные комбинации представляют фундаментальную связь в самом общем виде, то есть дают качественную картину явления. Однако перед исследователем чаще всего стоит задача получения количественной связи между параметрами, описывающими процесс.
Во многих инженерных экспериментах удобно представить эту функцию в виде степенного ряда, ограничиваясь первыми его членами:
Y = k (P1a, P2b, …), (3.19)
где k – согласующая постоянная,
P1, P2… - параметры,
а, b, … - показатели степени, определяемые из эксперимента.
Так в примере с лобовым сопротивлением выражение (3.12) можно представить в виде:
.(3.20)
Ранее отмечалось, что одни безразмерные комбинации могут иметь больший физический смысл и, следовательно, большую практическую ценность. Кроме того, одним из важнейших критериев выбора безразмерных комбинаций является точность. В задаче о лобовом сопротивлении можно выбрать одну из следующих трех комбинаций:
,
,
.
С точки зрения размерностей любая из этих комбинаций правильна и приемлема, однако для применения в инженерной практике предпочтительнее первая комбинация. Возникает вопрос, какая комбинация лучше с точки зрения точности?
С помощью простых алгебраических преобразований каждые из приведенных соотношений можно преобразовать в любые другие. Так первую формулу можно привести к виду:
,
,
которая совпадает со второй зависимостью, при k1 = k2 и b = a+1.
Аналогично можно показать, что эти соотношения эквивалентны при k1= k2 = k3 = k и c = b+1 = a+2.Если эти условия выполняются, то всегдаk = a Fc/a+1 Va+2 da+2и выбор той или иной комбинации не оказывает влияние на вычислениеkпри любой точности измерений.
На практике при определении согласующих постоянных используется не одна группа числовых значений, а множество. Обычно при обработке экспериментальных данных на график наносится совокупность экспериментальных точек, позволяющих определить вид функции, а затем эти точки усредняются путем построения наилучшей кривой методом наименьших квадратов. Эта кривая используется для определения согласующих коэффициентов и показателей степени. При выполнении этих операций целесообразно выбрать безразмерные комбинации таким образом, что бы все ошибки измерений были сконцентрированы в одной из них. Так если в предыдущем примере наиболее неопределенной величиной является вязкость , то следует выбирать первую комбинацию, если скоростьV, то третью.
Следует отметить, что такой выбор не всегда возможен, но к нему следует всегда стремиться.
3.6. Последовательность проведения анализа размерностей
Для удобства проведения анализа размерностей можно предложить следующую последовательность действий:
1. Выбираются независимые переменные. При этом необходимо рассматривать так же размерные коэффициенты и физические константы. Это наиболее ответственный этап работы.
2. Выбирается система основных единиц. Они должны быть независимы.
3. Составляются безразмерные комбинации. Решение будет правильным, если:
каждая комбинация является безразмерной,
число комбинации будет не меньше предсказанного-теоремой,
каждая переменная встречается хотя бы один раз.
4. Изучаются полученные комбинации с точки зрения практической приемлемости, физического смысла и концентрации неопределенностей в одной комбинации. Если комбинации не удовлетворяют указанным условиям, то можно осуществить следующие действия:
получить другое решение для показателей степеней,
выбирать другую систему основных размерностей,
проверить правильность выбора независимых переменных.