3.2.3. Третья теорема подобия

Третья теорема подобия или вторая часть теоремы Букингема. Называется так же -теоремой и формируется следующим образом: ”Если существует однозначное соотношение (А₁, А₂, …, А_n) =0 между nфизическими величинами, для которых используется k основных единиц, то существует так же соотношение ^(₁, ₂, …,_n-k) = 0 между (n –k) безразмерными комбинациями, составленных из этих физических величин. ”

Эта теорема позволяет проверить результаты анализа размерностей. Так в задаче о лобовом сопротивлении имеется пять переменных и три основных единицы, поэтому число безразмерных комбинаций равно двум

(,).

Существенным недостатком -теоремы, сформулированной таким образом является то, что она позволяет определить лишь минимальное число безразмерных комбинаций, однако она не запрещает иметь большее число комбинаций.

В качестве иллюстрации этого можно рассмотреть задачу о теплоотдаче от стенок трубы, протекающему по ней турбулентному потоку жидкости. В данном случае имеем следующий набор переменных: C_ - коэффициент турбулентного поверхностного трения, D – диаметр трубы, V, - скорость и плотность жидкости,  - вязкость жидкости, C_p – удельная теплоемкости жидкости,  - теплопроводимость жидкости - C_ = (D, V, , , C_p, ). Принимая систему основных единиц [M, L, , H, T], где H – единица количества тепла, получим следующую комбинацию безразмерных параметров:

. (3.13)

В соответствии с -теоремой при семи переменных и пяти основных размерностях мы должны получить две безразмерные комбинации, а уравнение (3.13) включает три. Это объясняется тем, что при анализе размерностей в рассматриваемой задаче мы не использовали истинное минимальное число размерностей. Уравнение (3.13) можно получить при использовании системы [M, L, , T], что свидетельствует о том, что размерность [H] была лишней.

Для учета подобных ситуаций Ван Драйст предложил модифицированную формулировку -теоремы, учитывающую подобные случаи: ”Число безразмерных комбинаций полной системы равно общему числу переменных минус максимальное число этих переменных, не образующих безразмерные комбинации”.

3. Выбор безразмерных комбинаций и основных размерностей

На первый взгляд может показаться, что применение аналитического метода Релея, рассмотренного ранее, несложно. Однако это часто бывает не так, особенно при изучении новых сложных явлений.

Для иллюстрации этого рассмотрим пример с лобовым сопротивлением. Выразив показатели степени в системе уравнений (*) не через d, а черезc, получим:d = c+1; a = c+1; b = c+1. Тогда исходное уравнение (4.9) примет вид:

.

Полученная зависимость верна и удовлетворяет -теореме. Однако комбинация переменных не имеет физического смысла. В то же время полученная ранее комбинацияпредставляет собой отношение силы лобового сопротивления к силе, вызванной давлением потока на лобовую поверхность ракеты.

Это говорит о том, что многие размерные системы могут иметь несколько правильных решений, хотя ценность их не одинакова. Следовательно, при выборе переменных и составлении безразмерных комбинаций необходимо особое внимание обратить на физический смысл, получившихся зависимостей.

Выбор основных размерностей оказывает существенное влияние на число и вид безразмерных комбинаций. Рассмотрим это на следующем примере: Требуется исследовать работу насоса передачи топлива в жидкостном реактивном двигателе для которого известны d– диаметр рабочего колеса,N– скорость его вращения,- плотность топлива,Q- объемный расход. Измеряемой величиной является повышение давления перекачиваемой жидкости∆P. Между этими величинами существует связь:

∆P=  (Q, N, , d). (3.14)

Выбрав систему основных размерностей [M,L,,], и, применяя теорему Букингема, получим:

(3.15)

Теперь преобразуем уравнение (3.14), используя другую систему основных единиц [M,L,,W], где [W] – размерность объема, которую мы применяли в качестве основной. Тогда уравнение размерностей записывается в виде:

Проведя соответствующие преобразования, (например, методом последовательного исключения размерностей) получим:

(3.16)

Сравнение соотношений (3.15) и (3.16) показывает, что достигнуто существенное улучшение схемы эксперимента, так как для полного задания формы уравнения (3.14) требуется только один эксперимент. Однако легко убедится в том, что работу насоса с помощью такого упрощенного закона описать нельзя. Следовательно, при выборе основных размерностей была допущена ошибка.

Что бы избежать чрезмерного упрощения, необходимо придерживаться следующего правила: ”Выбираемые основные размерности должны быть независимы ”(В нашем случае размерности [L] и [W] зависимы).

3.4. Метод последовательных исключений размерностей

Рассмотренный ранее метод нахождения безразмерных комбинаций Релея, является не единственным. Достаточно эффективными являются поэтапный метод, предложенный Ипсоном, а так же метод лимитированных преобразований М. А. Мамонтова.

Рассмотрим первый метод на примере исследования работы насоса ЖРД. Уравнение размерностей для соотношения (3.14) при выборе основных размерностей [M,L,] и имеет вид:

.

Если соотношение (3.14) выражает реальные условия эксперимента, то таким же точным и общим будет соотношение:

. (3.17)

Из всех переменных, кроме , мы исключили размерность массы [M], поэтому в уравнении (3.17)не должно присутствовать в правой части, так как это единственный член, содержащий размерность [M]. Следовательно, соотношение (3.17) можно записать в виде:

,

а уравнение размерностей для него будет:

.

Теперь, используя переменную N, аналогичным образом исключаем размерность []:

,

откуда получаем уравнение размерностей

L² = (L³, L).

Наконец, используя переменную d, исключаем размерность [L]:

. (3.18)

Полученное выражение показывает, что безразмерный параметр , характеризующий увеличение давления, является функцией важного безразмерного параметра насоса.

Применение метода последовательного исключения размерностей усложняется с увеличением числа переменных. Однако его преимуществом является то, что он позволяет осуществлять контроль над формированием комбинаций как путем выбора порядка исключения основных размерностей, так и путем выбора переменной, используемой для исключения конкретной размерности.

При большом числе переменных хорошие результаты дает метод лимитированных преобразований М.А. Мамонтова.