3.2. Теоремы подобия

Анализ размерностей базируется на некоторых общих закономерностях, которые называются теоремами подобия. Первая и вторая теоремы основываются на предположении о том, что рассматриваются явления, подобие которых заранее известно, то есть они устанавливают соотношения между параметрами заведомо подобных явлений. Третья теорема подобия определяет условия, необходимые и достаточные для того, что бы явления оказались подобными.

3.2.1. Первая теорема подобия

Кратко эту теорему можно сформулировать следующим образом: ”Подобные процессы, описываются однородными уравнениями”.

В случае подобных процессов они описываются уравнениями:

- первый процесс,

–второй процесс.

Поскольку _n и _n не равны нулю, то эти уравнения можно переписать в виде

, (3.1)

. (3.2)

Обозначая,

, (3.3)

,

и, учитывая подобие процессов, получим:

,

откуда

P₁ = n₁R₁, P₂ = n₂R₂, …, P_n = n_nR_n . (3.4)

После подстановки в уравнения (3.3) соотношений (3.4), вследствие однородности функций _j , масштабы n₁, n₂, …, n_n можно вынести за знак функции, обозначив общим множителем _j

_{j =} f (P₁, P_{2, …,}P_n) = f (n₁R₁, n₂R₂, …, n_nR_n) = N_jf (R₁, R₂, …, R_n) = N_j_j (3.5)

Поскольку, в силу равенства _j = N_j_j, имеют место соотношения:

₁ = N₁₁, ₂ = N₂₂,…, _n = N_n_n, зависимость (3.1) может быть записана в виде:

. (3.6)

Сравнивая уравнения (3.2) и (3.6), можно сделать заключение, что они тождественны и между соответствующими членами этих уравнений существуют соотношения:

, , …, , (3.7)

то есть

. (3.8)

Знак idem означает, что это соотношение одинаково для всех рассмотренных процессов.

Таким образом, у подобных процессов некоторые соотношения параметров, называемые критериями подобия, численно одинаковы. Если обозначить критерий подобия буквой , то можно дать краткую формулировку первой теоремы подобия:

для всех подобных процессов

 = idem. (3.9)

Следует отметить, что справедливо и обратное положение – если критерии подобия численно одинаковы, то явления подобны.

3.2.2. Вторая теорема подобия

Вторая теорема подобия или первая часть теоремы Букингема гласит:

”Если какое либо уравнение однозначно относительно размерностей, то его можно преобразить к соотношению, содержащему набор безразмерных комбинаций ”.

Не рассматривая доказательство этой теоремы, проиллюстрируем ее на следующем примере: ракета с характеристическим размером D движется с различной скоростью V в вязкой жидкости, испытывая лобовое сопротивление F_с (Рис. 3.1.)

Рис. 3.1. Движение ракеты в потоке вязкой жидкости.

Очевидно, что сила сопротивления F_c зависит от скорости набегающего потока V, плотности , вязкости жидкости  и размера ракеты D, то есть:

F_c = f (V,D, , ). (3.9)

Следовательно, в данной задаче мы имеем набор из пяти фундаментальных переменных F_c, V, D, , .

Рассмотрим так называемый релеевский метод решения размерных систем для нахождения безразмерных комбинаций величин, входящих в уравнение (3.9). Для этого выразим размерности переменных через следующие основные единицы: массу [M], время [], длину[L]. Таблица переменных в этом случае будет иметь вид:

Таблица 3.1.

Наименование переменной	Обозначение	Размерность
Скорость жидкости	V	L1
Характеристический размер	D	L
Плотность жидкости		ML-3
Вязкость жидкости		M-1L-1
Сила сопротивления	Fc	LM-2

Допустим, что между этими величинами существует следующее соотношение:

 (V^a,D^b, ^c, ^d) =F_c . (3.10)

Подставляя в это выражение вместо символов размерности из таблицы (4.1), получим:

[(L^-1)^a, L^b, (ML^-3)^c , (M^-1L^-1)^d] = ML^-2

Чтобы это уравнение было однородным относительно размерностей, должны выполняться следующие соотношения между показателями степени.

для M – c+d = 1,

для L – a+b-3c-d = 1, (*)

для  - -a-d = 2.

Таким образом, мы получили систему 3 уравнений с 4 неизвестными. Выразив показатели степени через d, получим:

c = -d+1; b = 2-d; a = 2-d.

Подставляя эти соотношения в зависимость (4.10), найдем:

 (V^2-d, D^2-d_, ^1-d, ^d) = F_c.

Объединяя члены с одинаковыми показателями степеней, легко составить безразмерные комбинации

(3.11)

или в более привычной форме:

, (3.12)

где C_x – известный коэффициент лобового сопротивления,

- число Рейнольса

Таким образом, вместо пяти первоначальных переменных задачи, мы получили две безразмерные комбинации, и для изучения поведения ракеты нет необходимости исследовать влияния каждого фактора на силу лобового сопротивления, а достаточно лишь получить лишь зависимость C_x от Re.

Конкретный вид функции ^ определяется опытным путем, при этом число необходимых экспериментов значительно сократилось. Рассмотренный пример подтверждает, высказанный ранее тезис о том, что анализ размерностей позволяет получить требуемые зависимости, не прибегая к глубокому теоретическому анализу процессов.

Однако полученная зависимость будет справедлива только для геометрически подобных изделий. Что бы получить более общее выражение, справедливое для изделий различных форм, требуется большее число безразмерных соотношений (например, относительная длина головной части, удлинение ракеты и т.п.) и больший объем экспериментов.