Лекция № 3, 4 Анализ размерностей. Основы теории подобия

План лекции

3.1. Основные понятия анализа размерностей.

3.2. Теоремы подобия.

3.3. Выбор безразмерных комбинаций и основных размерностей.

3.4. Метод последовательных исключений размерностей.

3.5. Применение теории подобия и моделирования в экспериментальных исследованиях.

3.6. Последовательность проведения анализа размерностей.

3.1. Основные понятия анализа размерностей

Одной из основных целей планирования и подготовки эксперимента является получение максимального объема полезных данных при наилучшем контроле и минимальных затратах временных и материальных ресурсов. Наиболее распространенным и эффективным способом решения этих задач является анализ размерностей, основанный на использовании теории подобия.

Анализ размерностей играет большую роль при проведении экспериментальных и теоретических исследований, так как позволяет объединить несколько переменных в одну. Он так же широко используется как простой и быстрый способ вывода функциональных соотношений без применения сложной теории.

Часто анализ размерностей рассматривается не как принцип, с помощью которого можно существенно усовершенствовать методику работы, а как простой способ получения уже известных результатов или как педагогический прием. В настоящее время в связи с детальной разработкой теории подобия физических процессов этот подход очень широко используется в теоретической и экспериментальной гидромеханике, теплотехнике, ядерной физике, баллистике, теории стрельбы и т.п.

Рассмотрим некоторые основные понятия теории подобия и анализа размерностей.

Подобными называются явления для которых существует полное соответствие всех геометрических размеров рассматриваемых систем и всех изменяющихся во времени и пространстве параметров, то есть процессов, протекающих в этих системах. Важным следствием этого определения является, то, что данные, полученные при изучении одного явления, можно распространить на все явления, ему подобные.

Фундаментальной переменной называют любую величину, оказывающую влияние на процесс и способную изменяться независимо от других переменных (например, масса заряда, его начальная температура, сила топлива при определении начальной скорости снаряда).

Не фундаментальной переменной называется переменная так же влияющая на процесс, но изменяющаяся в зависимости от других переменных (например, давление, температура в канале ствола орудия).

Не регулируемыми называются переменные, которые не могут изменяться в процессе проведения эксперимента (например, ускорение силы тяжести).

Однородным относительно размерностей называется уравнение, форма которого не зависит от выбора основных единиц. Примерами однородного уравнения является закон Ньютона, закон Бернуллии т. п., примером неоднородного, зависимость для скорости резания:

.

Интересно отметить, что естественное явление природы не может быть описано с помощью неоднородного уравнения.

Безразмерные комбинации представляют собой произведения или отношения величин, составленные таким образом, что в комбинации размерности сокращаются (например, число Маха , число Рейнольдса , т.п.). Если для какого либо уравнения не удается получить систему безразмерных комбинаций, то это является признаком того, что какая-либо переменная пропущена.

Основными размерностями называются размерности, определяемые единицами измерения выбранной системы. Так для международной системы единиц СИ стандарт устанавливает следующие основные единицы измерения:

длина – метр[l],

масса - килограмм [M],

время - секунда[],

ток - Ампер[I],

температура – градус Кельвина[T].