8.4.7. Корреляционный анализ

Дисперсионный анализ служит для оценки лишь влияния фактора в целом и не выясняет количественного соотношения между факторами. Для их выявления служит корреляционный и регрессионный анализ.

В условиях проведения эксперимента существует большое число случайных факторов, искажающих результаты наблюдений. При этом с изменением одной величины изменяется распределение другой – такая связь называется стохастической. Для оценки тесноты этой связи используются корреляционные зависимости, важнейшими из которых являются корреляционный момент:

(8.18)

и коэффициент корреляции

(8.19)

где - оценки средних и среднеквадратических отклонений случайных величинxиy.

По сути дела коэффициент корреляции представляет собой второй смешанный момент нормированных случайных величин и часто называется парным коэффициентом корреляции. Существуют также множественные коэффициенты корреляции, устанавливающие вероятностную взаимосвязь более двух параметров.

Значение коэффициента корреляции изменяется в пределах от –1 до +1. Чем ближе к единице, тем точнее связь между величинамиxиy, присуществует строгая функциональная связь. Приблизких к нулю связь между величинамиyиxпрактически отсутствуют.

В случае малого числа испытаний распределение коэффициента корреляции в частных совокупностях из nпар значений сильно отличается от нормального. Для его оценки используется преобразование Фишера

,

которое с возрастанием nочень быстро приближается к нормальному со средним значением

и дисперсий

.

Доверительные границы zнаходятся обычным способом. Проверить значимость коэффициента корреляции можно также с помощьюt-распределения Стьюдента. Если

,

то зависимость между величинами следует признать значимой.

Замечательным свойством корреляционного анализа является то, что он позволяет легко получить линейное уравнение регрессии:

где - средние значения случайных величин и их дисперсий

- второй смешанный момент.

Величины иназываются коэффициентами регрессии и выражаются через коэффициенты корреляции следующим образом

.