8.4.5. Сравнение дисперсий и средних

Одной из важнейших задач статистической обработки наблюдений является сравнение двух или более средних и дисперсий. Основной решаемый при этом вопрос – можно ли считать сравниваемые выборочные величины оценками одной и той же генеральной совокупности.

Сравним две дисперсии и, имеющие соответственноистепеней свободы. Будем считать, что первая выборка сделана из генеральной совокупности с дисперсией, а вторая - из генеральной совокупности с дисперсией. Выдвигается нулевая гипотеза о равенстве дисперсий. Чтобы отвергнуть эту гипотезу, нужно доказать значимость расхождения междуипри выбранном уровне значимостиp. В качестве критерия значимости в этом случае используется так называемоераспределение Фишера(F- распределение). Это распределение случайной величины

(8.12)

зависящей только от числа степеней свободы, при этом . КвантилиF– распределения приведены в таблицах.

Для подтверждения нулевой гипотезы должно выполняться условие

(8.13)

Иногда бывает необходимо сравнить несколько дисперсий ,,…,, имеющих степени свободы. В этом случае используетсякритерий Бартлета. Для его использования вначале определяется средневзвешенная дисперсия

далее вычисляются величины

Бартлетом показано, что в случае, когда все соответствуют одной генеральной дисперсии, отношениераспределено приближенно как хи-квадрат сстепенями свободы независимо от. Это означает, что гипотеза о равенство дисперсий принимается, если

(8.14)

при заданном уровне значимости p.

При сравнении средних мы должны убедиться, что истинное среднее значение измеряемой величины остается неизменным.

Пусть заданы две случайные выборки:

взятые из нормально распределенных генеральных совокупностей, генеральные средние и генеральные дисперсии которых равны: и. Тогда среднее значениепервой выборки есть нормально распределенная случайная величина с параметрамии, а среднеевторой выборки с параметрамии. Нулевая гипотеза о равенствеотвергается, если при двустороннем критерии выполняется неравенство

(8.15)

Данный критерий прост и надежен, но он требует значения и, что не всегда возможно. Если генеральные дисперсии неизвестны, то используют выборочные дисперсиииираспределение Стьюдента. При этом генеральная дисперсия оценивается средневзвешенной

С использованием критерия Стьюдента при числе степеней свободы нулевая гипотеза отвергается, если при двустороннем критерии:

(8.16)

8.4.6. Дисперсионный анализ

В процессе проведения экспериментальных исследований зачастую возникает ситуация, когда один или несколько основных факторов начинают заданным образом изменяться. Эти изменения могут повлиять на результаты наблюдений, и степень этого влияния может быть исследована методами математической статистики.

Влияние изучаемых факторов может быть двояким: они могут изменять как истинный результат (среднее значение), так и дисперсию этих наблюдений. В большинстве случаев при использовании одной и той же методики и приборов при проведении экспериментов дисперсия наблюдений остается неизменной.

Предположим, что изучаемый фактор Ана различных уровнях привел к серии истинных результатов

Тогда, в качестве показателя влияния фактора Аможно использовать дисперсию

где - среднее арифметическое.

Удобство этого показателя объясняется тем, что дисперсия является простейшей мерой рассеивания, а также переводом систематического фактора Ав разряд случайных. Такой подход, заключающийся в исследовании влияния переменных факторов, на изменение дисперсий называетсядисперсионным анализом.

Рассмотрим схему дисперсионного анализа, когда генеральная дисперсия заранее неизвестна.

При исследовании влияния фактора Ана уровняхнадо обязательно иметь дублирующие наблюдения на некоторых его уровнях. Если на всех уровнях А_iпроводится одинаковое число наблюдений, то будем иметь статистики

где n – число наблюдений на каждом уровне.

Средние значения определяются:

а среднее всех наблюдений по всем уровням

общая выборочная дисперсия всех наблюдений

.

Основной задачей дисперсионного анализа является разложение общей дисперсии на составляющие, характеризующие факторАи фактор случайности в отдельности. Фактор случайности можно оценить, благодаря наличию повторных наблюдений на каждом уровне

,

то есть получить серию выборочных дисперсий . По этим значениям можно найти оценку генеральной дисперсии

,

имеющую k(n-1)степеней свободы.

О влиянии фактора Аможно судить остаточной дисперсии

.

Эта оценка слишком груба и более точной является

.

Для того, чтобы влияние фактора Абыло значительным, необходимо и достаточно, чтобы дисперсиясущественно отличалась от, что можно проверить покритерию Фишера

(8.17)

где F_1-p– распределение Фишера сf₁ = k – 1 и f₂ = k (n - 1)степенями свободы.