8.4.3. Оценка генеральных среднего и дисперсии

Основными оцениваемыми параметрами при обработке экспериментов являются генеральное среднее (математическое ожидание) m_xигенеральная дисперсия.Выборочное среднееивыборочная дисперсияявляются оценками соответствующих генеральных параметров.

При равноточных измерениях они определяются по зависимостям:

(8.2)

(8.3)

где x₁, x₂,… x_i- значения наблюдаемой величины,

n – число наблюдений (опытов).

При неравноточных измерениях

где P_i– веса неравноточных измерений параметров, принимаемые, обычно, обратно пропорциональными значениям дисперсии ошибок:

Рассмотренные оценки математического ожидания и дисперсии представляют собой точечные оценки, которые часто заполняются доверительными оценками. Используя квантили нормального распределения, получаем оценку генерального среднего.

(8.4)

Отсюда видно, что уменьшение доверительного интервала обратно пропорционально корню квадратному из числа наблюдений. Если значение генеральной дисперсии неизвестно, вместо нее используется выборочная дисперсия S². Это значит, что вместо квантиля и необходимо использовать величину

(8.5)

которая называется критерием Стьюдента.

При больших выборках (n50) величиныS²и²мало отличаются друг от друга и, следовательно,tмало отличается отu. При малых выборках это различие является существенным, более того распределение Стьюдента (t- распределение) не является нормальным. Распределение Стьюдента затабулировано и с его помощью получается оценка генерального среднего

(8.6)

Таким образом, распределение Стьюдента позволяет оценить генеральное среднее, даже при очень малом числе наблюдений. В некоторых случаях требуется найти оценку генерального среднего только сверху или только снизу. В этом случае оценки производятся по зависимостям

,

.

Для оценки генеральной дисперсии ²служит выборочная дисперсияS². Дисперсия, в силу случайности выборки, сама является случайной величиной, математическим ожиданием которой является генеральная дисперсия.

Распределение величины S²можно получить с помощью распределения Пирсона (распределения) хи-квадрат.

(8.7)

В этой сумме есть связь , поэтому число степеней свободы. Квантилипри различныхpиfприведены в таблицах.

С использованием распределения Пирсона можно получить соотношение для двусторонней доверительной оценки генеральной дисперсии

(8.8)

и для односторонних доверительных оценок

Полученные оценки можно превратить в оценки среднеквадратического отклонения

(8.9)

где - затабулированная функция.

8.4.4. Проверка гипотезы о тождественности эмпирических и теоретических функций распределения

Все оценки результатов наблюдений базируются на знании закона распределения случайной величины. Чаще всего необходимо проверить гипотезу о нормальности распределения, которая называется основной гипотезой. При этом используются так называемые критерии согласия, наибольшее практическое применение из которых нашел критерий А.Н. Колмогорова и критерийхи-квадрат Пирсона.

Для вычисления критерия Колмогорованеобходимо предварительно определить эмпирическуюF(x)_эи теоретическуюF(x)_тфункции распределения. Для этой функции определяется величина

(8. 10)

где - максимальная абсолютная разность между эмпирической и теоретической функциями распределения.

Полученное значение сравнивается с табличным, соответствующим заданному уровню значимости. Если вычисленное значение меньше табличного, то основная гипотеза считается справедливой.

Критерий Колмогорова можно использовать не только для нормального, но и для любого другого распределения. Этот критерий прост в вычислении, но для его расчета необходимо заранее знать вид и параметры гипотетического распределения. Такой случай на практике встречается достаточно редко. При отсутствии этих данных гипотеза проверяется по критерию хи-квадрат Пирсона:

(8.11)

где m– число разрядов (интервалов),

f_iТ, f_iЭ– экспериментальные и теоретические частоты.

Число степеней свободы определяется как

где q– число параметров теоретического распределения (для нормального законаq= 2).

Вероятность согласования определяется по соответствующей таблице в зависимости от числа степеней свободы и принятого уровня значимости p. ЕслиP(²)больше принятого уровня значимости, например,, то гипотеза о соответствии теоретического и эмпирического распределения принимается. Условия применения критерия Пирсона требуют, чтобы в каждом интервале число частот было не меньше пяти, поэтому их объединяют до начала вычислений.