Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MathCadTV 5semestr

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

1.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

ORIGIN 1

Распределение двумерной случайной величины

0	2	4
1	0.1	0.2

3	0.3	0.4

Распределение случайной величины

submatrix 2 3 1	1	1
		3

	3		0.3
j 1 2	Tmpj j 1 i	Tmp	0.3
	i 2		0.7
	i 2
stack submatrix 2 3 1 1 T TmpT
Математическое ожидание
2
M 1 i 2 i		M 2.4

i 1

		1	3
		0.3	0.7

Распределение случайной величины
submatrix 1 1 2 3 ( 2				4 )
			3				0.4
j 1 2		Tmpj			i j 1	Tmp	0.4
			i 2				0.6
			i 2
					T					2	4
stack submatrix 1 1 2					3 Tmp					0.4	0.6
										0.4	0.6
Математическое ожидание
2
M 1 i 2 i						M 3.2
i 1
	2	4	6	12				4
prod	2	4	6	12		Mprod			prod		i	prod		i
	0.1 0.2		0.3	0.4						1	i		2	i
	0.1 0.2		0.3	0.4				i 1
								i 1
Ковариация		cov Mprod M M								cov 0.08

Дисперсия

D 1 i 2 2 i M 2

i 1

D 0.84

D 0.96

Дисперсия +

D D 2cov 1.64

Распределение +

sum

0.1

0.5

0.4

Msum

sum

Msum 5.6

2 i

i 1

Dsum

sum

Msum

i 1

Dsum 1.64

Указание. Для вычисления ковариации найдите распределение произведения компонент и его математическое ожидание. Дисперсию, суммы вычислите двумя способами — через ковариацию и непосредственно. Для этого найдите дисперсии компонент, распределение суммы компонент и ее дисперсию.

ЗАДАНИЕ 5.27

Вычислите ковариацию и дисперсию компонент двумерных случайных величин из заданий 5.14 и 5.15.

Порядок выполнения задания

1.Прочитайте файл, содержащий вычисление условных распределений в задании 5.14.

2.Вычислите математические ожидания каждой компоненты.

3.Определите распределение произведения компонент.

4.Найдите математическое ожидание произведения компонент.

5.Вычислите ковариацию компонент.

6.Вычислите дисперсию суммы.

7.Определите распределение суммы компонент.

8.Найдите математическое ожидание и дисперсию суммы компонент.

Пример выполнения задания

Примерный вариант выполнения задания для двумерной случайной величины приведен выше.

Корреляция

Понятно, что значение ковариации зависит не только от "тесноты" связи случайных величин, но и от самих значений этих величин, например, от единиц измерения этих

значений.

Для исключения этой зависимости вместо ковариации используется коэффициент корреляции

k		cov ξ,η
	ξη
			Dξ Dη

Этот коэффициент обладает следующими свойствами:

•он безразмерен;

•его модуль не превосходит единицы, т.е. | k | 1;

•если и независимы, то k = 0 (обратное, вообще говоря, неверно!);

•если | k | = 1, то случайные величины и связаны функциональной зависимостью

вида = a + b, где а и b — некоторые числовые коэффициенты;

• k = k = 1.

Корреляционной матрицей случайного вектора называется матрица

	1	k
K			ξη .
k	ξη		1
	ξη

Если σξ Dξ и ση Dη , то ковариационная и корреляционная матрицы

случайного вектора ( , ) связаны соотношением Cov( , ) = K					, где
σ		0
	ξ	σ		.
	0	σ
			ξ

ЗАДАНИЕ 5.28

Вычислите ковариационную и корреляционную матрицы двумерного случайного вектора из задания 5.14.

Порядок выполнения задания

1.Прочитайте файл, содержащий вычисление условных распределений в задании 5.27.

2.Определите и введите ковариационную матрицу.

3.Вычислите корреляционный коэффициент компонент случайного вектора.

4.Определите и введите корреляционную матрицу.

5.Определите и введите вспомогательную диагональную матрицу со среднеквадратичными отклонениями компонент на диагонали.

6.Вычислите корреляционную матрицу умножением ковариационной матрицы на вспомогательную.

Пример выполнения задания

Примерный вариант выполнения задания приведен ниже.

Cov				D		cov	Cov		0.84	0.08
Cov							Cov		0.08	0.96
				cov		D			0.08	0.96
k			cov				k 0.089


			D D
	1			k			1	0.089
K							K
k				1			0.089	1
									0.08
		D		0				0.84	0.08
							K
	0				D			0.08	0.96

Рассмотрим случайный вектор ( , ), имеющий нормальное распределение. В наиболее общем случае плотность вероятностей такого вектора зависит от пяти параметров – a , a , , , k – и имеет вид

pξ,η(x,y)

2ππξ ση

1 kξη

x a

2k 2

exp

ξη σ

2 1

ξη

При любых значениях параметров a , a , , , k эта функция удовлетворяет условиям нормировки:

		p (x,y)dxdy 1.
		p (x,y)dxdy 1.
		ξ,ι

Параметры a , a , , , k имеют простой теоретико-вероятностный смысл: a — математическое ожидание случайной величины , М = a ;

a — математическое ожидание случайной величины , М = a ;

— среднеквадратичное отклонение случайной величины , D = 2 ;

— среднеквадратичное отклонение случайной величины , D = 2 ; k — коэффициент корреляции случайных величин и .

Таким образом, зная плотность вероятностей двумерного нормального распределения, можно найти его числовые характеристики и построить ковариационную и корреляционную матрицы:

ξη

Cov ξ,η

ξη

σ σ k

σ 2

ξ η ξη

ЗАДАНИЕ 5.29

По заданной плотности вероятностей нормального двумерного распределения

y a

x ax

f X ,Y (x, y) Aexp

найдите

2(1

)

нормировочный множитель А, вычислите ковариационную и корреляционную матрицы.

N	aX	X	aY	Y		N	aX	X	aY	Y

1	1	0.1	1.0	0.12		6	1.1	1.1	2.1	0.55
2	2	0.2	1.2	0.13		7	1.2	1.2	2.2	0.6
3	3	0.3	1.3	0.14		8	1.3	0.8	2.3	0.65
4	4	0.4	1.4	0.20		9	1.4	0.85	2.4	0.70
5	5	0.5	1.5	0.26		10	1.5	0.90	2.6	0.75

N	aX	X	aY	Y	N		aX	X	aY	Y

11	4	0.6	1.6	0.30	16		0.75	0.12	1	0.1
12	3	0.7	1.7	0.35	17		0.80	0.13	2	0.2
13	2	0.8	1.8	0.40	18		0.95	0.14	3	0.3
14	1	0.9	1.9	0.45	19		0.10	0.20	4	0.4
15	1.0	1.0	2.0	0.50	20		1.5	0.25	5	0.5

По заданной плотности вероятностей нормального двумерного распределения найдите нормировочный множитель, вычислите ковариационную и корреляционную матрицы.

Порядок выполнения задания

1.Определите плотность вероятностей двумерного нормального распределения как функцию переменных х, у.

2.Найдите нормировочный коэффициент и проверьте вычисления.

3.Определите новое выражение для плотности вероятностей двумерного нормального распределения.

4.Найдите плотность вероятностей, математическое ожидание и дисперсию каждой компоненты.

5.Найдите математическое ожидание произведения компонент.

6.Вычислите ковариацию компонент.

7.Вычислите коэффициент корреляции компонент.

8.Определите и введите ковариационную матрицу.

9.Определите и введите корреляционную матрицу.

10. Вычислите корреляционную матрицу другим способом.

Пример выполнения задания

Выполните задание для плотности вероятностей

p		2
p	x,y Aexp x
ξ,η

2x 2xy 6y 4y	2
2x 2xy 6y 4y		.

Ниже приведено решение задачи в среде MathCAD.

									2	2 x				2 x y 6 y												2
p(x y) A exp x										2 x				2 x y 6 y								4 y

							2																2											1					7


			exp			x		2 x 2 x y 6 y 4 y																	dxdy										exp									3
			exp			x		2 x 2 x y 6 y 4 y																	dxdy										exp									3
																																		3					3
																																		3					3
								1										2																								2
p(x y)													exp x							2 x 2 x y													6 y					4 y
p(x y)													exp x							2 x 2 x y													6 y					4 y
					1			7
					1			7
						exp					3
						exp		3			3
					3			3
		1		7
A			exp				3
A			exp				3
		3		3
Плотность вероятностей, дисперсия и математическое ожидание
							1
																2																							2
																2																							2
p (x)												exp x						2		x 2 x y										6 y							4 y						dy
p (x)												exp x						2		x 2 x y										6 y							4 y						dy
			1				7
			1				7
					exp					3
					exp					3
			3				3
			3				3

																						1				3		2						1
																			exp									x								x
																			exp									x								x
Плотность вероятностей												p (x)					1					12				4								2							3

																	2										1


																										2

																								1					3								1

																																		2
																						exp 12										x						x								1
Математическое ожидание																				1		exp 12							4			x					2	x								1
																	x																										3 dx
																	x			2											1												3 dx			3
																															1

																													2



																1					3					1

																						2
															exp 12							x						x												1 2
Дисперсия										2			1		exp 12						4	x				2		x												1 2					2
										x																									3 dx								3
										x			2									1													3 dx								3		3

																						2
																						2



M 1									D		2
M 1									D
	3										3

Плотность вероятностей, дисперсия и математическое ожидание

																1
																										2												2
																										2												2
		p (y)																				exp			x			2 x			2 x y 6 y 4 y									dx
		p (y)																				exp			x			2 x			2 x y 6 y 4 y									dx
										1					7
										1					7
													exp						3
													exp						3
										3					3
										3					3

																												4			4 y 3 y				2
																											exp				4 y 3 y
			Плотность вероятностей																			p (y)						3									3
			Плотность вероятностей																			p (y)											1				3
																																	1
																															2

																												4						2


	Математическое ожидание																									exp 3				4 y 3 y											2
																									y												3 dy
																									y							1					3 dy				3
																																1									3
																															2
																															2



																		4										2


	Дисперсия															2	exp		3			4 y 3 y												2 2			1
															y																3 dy			3
															y									1							3 dy						6
																								1													6
																							2
																							2



		M						2										D				1

								3														6
								3														6
			Математическое ожидание
																1																										1
																									2												2
																									2												2
					x y																exp x					2 x				2 x y 6 y						4 y				dxdy
					x y																exp x					2 x				2 x y 6 y						4 y				dxdy
										1				7																												18
												exp							3
												exp							3
										3				3
										3				3

	M					1												cov M M M																					cov 0.167
	M																	cov M M M																					cov 0.167
				18
											k					cov												k 0.5


																D D
																																									0.667		0.167
													D				k			D D																					0.667		0.167
	Cov																																						Cov
							k						D D						D																						0.167		0.167
				1				k																				1		0.5
K																									K
		k						1																			0.5				1
																																		0.167
					D				0																K						0.667			0.167
																									K				0.167
				0					D																				0.167					0.167

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 99

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.20152.17 Mб362Maple на учебную практику.doc
#
08.11.2019178.7 Кб6Masterarbeit.docx
#
10.05.2015212.79 Кб6matan-vvedenie-v-fiziku.pdf
#
10.05.2015449.13 Кб19matem_exp_tr1_4sem.pdf
#
26.09.2019156.16 Кб3Materialy_k_IGA (1).doc
#
10.05.20151.93 Mб42MathCadTV 5semestr.pdf
#
10.05.2015248.32 Кб47matmodeli_Borisova_laba_1.doc
#
10.05.2015193.95 Кб10matsostavlyayuschaya_10.pdf
#
10.05.2015116.22 Кб13Med_genetika.doc
#
10.05.20151.79 Mб8Metodicheskie.Pdf
#
10.05.20153.17 Mб42Metodicheskie_k_kursovoy.doc