Вычисление интеграла в пространстве методом Монте-Карло Детерминистический метод

Пусть в пространстве на задана функция , причём ,хотя бы один раз. Смысл метода состоит в аппроксимации до элементарных фигур разбиения. Разобьёмнаn частей, т.е. :

, где - длина приращения при равномерном распределении. Рассмотрим два случая: когда элементарные фигуры – трапеции, и когда – прямоугольники.

1. Трапеции.

где S – площадь под графиком, – площади разбиений графика, которые аппроксимируем до трапеций.

Пример: численно вычислить интеграл

Решение

Сначала вычислим интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть n=5, то

Из полученного результата мы видим, что при разбиении на 5 частей, с точностью до мы получаем исходный результат, что говорит об актуальной применимости детерминистического метода Монте-Карло при разбиении на трапеции.

2. Прямоугольники.

где S – площадь под графиком, – соответственно площади разбиений графика на прямоугольники с избытком и недостатком.

Пример: численно вычислить интеграл

Решение

Сначала вычислим интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть n=5, то

Из полученного результата мы видим, что при разбиении на 5 частей, с точностью до мы получаем исходный результат, что говорит об актуальной применимости детерминистического метода Монте-Карло при разбиении на прямоугольники.

Обычный метод Монте-Карло

Пусть в пространстве на задана функция , причём ,хотя бы один раз. Требуется найти площадь под графиком этой функции на заданном промежутке, то есть

Рассмотрим случайную величину p, заданную на промежутке . Очевидно, чтотоже случайная величина. Тогда запишем формулу для её математического ожидания:

случайной величины p, причём

Разобьём наn частей, т.е. :

, где - длина приращения при равномерном распределении. Тогда математическое ожидание можно оценить следующим образом:

Пример: численно вычислить интеграл

Решение

Сначала вычислим интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть n=5, то

Пусть n=10, то

Из полученного результата мы видим, что при увеличении разбиений в два раза, точность результата приблизилась к настоящему на 0.205. При увеличении разбиений результат приблизится к исходному достаточно быстро, с точностью до можно получить уже приn=50.

Геометрический метод

Пусть в пространстве на задана функция , причём ,хотя бы один раз и наимеет. Разобьёмнаn частей, т.е. :

, где - длина приращения при равномерном распределении. Поместим область, ограниченнуюи осью абсцисс в прямоугольник со сторонами, гдеd и c – точки на оси ординат, причём Разобьёмнаk частей, т.е. :

, где - длина приращения при равномерном распределении. При данных разбиенияхиполучили (n+1)(k+1) точек. Рассмотрим способ нахождения площади под графиком функции при данном распределении точек. Так как эта площадь есть какая-то часть площади прямоугольника, то скажем, что эта часть есть вероятность попадания этих точек в саму область под графиком функциии на её границу. Пусть попавших точек будетm, где

, тогда

где - площадь прямоугольника.

Пример: численно вычислить интеграл

Решение

Сначала вычислим интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть n=3, k=2, c=0, d=4, то

–площадь выбранного прямоугольника,

(n+1)(k+1) = 12 – общее количество точек,

Разбиение : 2,,, 4, разбиение: 0, 2, 4, тогда получаем точки

(2,0), (2,2), (2,4), (,0), (,2), (,4), (,0), (,2), (,4), (,0), (,2), (,4), из них попадают в область (2,0), (2,2), (,0), (,2), (,0), (,2), (,0), (,2) – 8 точек, тогда

Из полученного результата мы видим достаточно большую погрешность, погрешность до достигается при достаточно большом количестве точек, например 9000, гдеn=100, k=900. Это показывает, что данный метод не очень удобен из-за достаточно медленной сходимости.