
4.3. Дифференциальное уравнение неразрывности
Получим интегральное, а затем дифференциальное уравнение неразрывности для общего случая движения трехмерного нестационарного потока жидкой или газообразной среды.
В соответствии с методом Эйлера выделим в движущемся потоке неизменный пространственный объем W, ограниченный замкнутой поверхностью S. В этом объеме выделим элементарный объем dW, имеющий массу dW (рис. 4.10).
Рис. 4.10. К выводу дифференциального уравнения неразрывности
Во
всем объеме W заключена масса жидкости,
равная
.
Изменение массы в данном объеме в единицу
времени можно записать как
.
Такое изменение обусловлено разностью
масс втекающей и вытекающей жидкости.
Через элемент поверхностиdS
в единицу времени протекает масса
жидкости
,
занимающего объем
или
(где
– внешняя нормаль элемента поверхностиdS).
Через всю неподвижную поверхность S
протекает масса жидкости
.
Согласно закону сохранения массы при
отсутствии источников и стоков изменение
в единицу времени массы жидкости,
заключенной в объемеW,
должно быть равно потоку массы жидкости
через недвижную поверхность S,
ограничивающую этот объем
(4.6)
Уравнение (4.6) представляет собой интегральное уравнение неразрывности в форме Эйлера.
За
положительное направление нормали
принято направление из объема. Произведение
для втекающего потока будет отрицательным,
а для вытекающего положительным. Если
вытекает больше, чем втекает
,
,
т.к.
.
Для
получения дифференциального уравнения
неразрывности преобразуем в уравнении
(4.6) поверхностный интеграл
в объемный с помощью формулы
Остроградского-Гауса
.
Подставляя полученное выражение в уравнение (4.6) и объединяя интегралы, получим
Учитывая, что объем при интегрировании выбирался произвольно (т.е. может быть равен dW), приравняем подынтегральную функцию нулю и получим дифференциальное уравнение неразрывности
(4.7)
или
Уравнение (4.7) – дифференциальное уравнение закона сохранения массы или уравнение неразрывности.
В случае несжимаемой жидкости = const и уравнение (4.7) запишется в виде
(4.8)
Физический смысл этого уравнения – скорость объемной деформации несжимаемой жидкости равна 0. При движении несжимаемой жидкости ее объем остается постоянным, изменяется только форма объема.
Из уравнений (4.7) и (4.8), как частные случаи, легко получаются уравнения для стационарного, двумерного и одномерного течений.