4 Построение стержневого конечного элемента с использованием аналитических решений уравнений состояния

Рассмотрим выражения для вектора состояния в произвольной точке стержня:

. (21)

Представим вектор состояния (3) в виде объединения двух блоков, один из которых характеризует кинематические параметры стержня , а другой – силовые параметры.

(21)

Аналогично запишем для вектора нагрузки:

, (22)

где ,.

Матрицу влияния разобьем на четыре блока:

, (23)

где ,,

, .

Запишем уравнение (21) для конца стержня :

. (24)

Выразим из (24) вектор начальных силовых параметров :

. (25)

Получим выражение для состояния стержня в любой точке через параметры начала и конца, для чего подставим (25) обратно в (21). Сгруппировав подобные слагаемые, получим уравнение, связывающее состояние стержня в любой его точке с кинематическими параметрами его начала и конца:

, (26)

где – соответственно блочная матрица и вектор, устроенные аналогично (22) и (23).

Компоненты матрицы связи и вектораимеют следующий вид:

. (27)

Чтобы найти узловые перемещения, воспользуемся методом вырезания узлов. Для этого запишем состояние в начале и в конце стержня. Из уравнений, определяющих силовые параметры, получаются условия равновесия стержня: . Учтем при этом, что матрица влияния– нормированная матрица фундаментальных решений, то есть выполняется условие– единичная матрица.

(28)

Запишем уравнения (28) в матричном виде:

, (29)

где компоненты блоков матрицы и вектораимеют следующий вид:

(30)

Уравнение (29), связывающее узловые перемещения стержня с распределенной нагрузкой, действующей на него, по определению является разрешающим уравнением метода конечных элементов. Тогда – матрица жесткости стержневого конечного элемента.

5 Выполнение индивидуального задания

Рисунок 2 - Схема конструкции 1 Конструкция представляет собой прямой стержень с шарниром на левом конце и свободным краем – на правом конце. Из последнего следует, что схема является статически определимой. Значит, производить расчет удобнее методом начальных параметров. Стержень нагружен различными силовыми факторами: сосредоточенной силой P и равномерной нагрузкой q. Поэтому разобьем стержень следующим образом:

Рисунок 3 - Выделение узлов. Конструкция 1

Запишем систему уравнений метода начальных параметров, из которой будем искать кинематические и силовые параметры стержня:

где – изгибающий момент,Q – поперечная сила, q – распределенная поперечная нагрузка, u – линейное перемещение вдоль нормали стержня, – угловое перемещение вокруг бинормали,E – модуль Юнга, I – момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента. х – координата вдоль оси стержня. 1) матрица модели А, полученная из системы диф уравнений от

(u/v/teta/N/Q/M)

2) матрица влияния получена преобразованием Лапласа

аналитическое решение МНП позволяет найти вектор нагрузки:

Разобьем на блоки:

Эти формулы исключают элементы, отвечающие за силовые нагрузки из матрицы влияния:

Матрица жесткости элемента связывает перемещения и угол поворота начала и конца и вектор нагрузки:

Теперь необходимо получить силы:

Выполнение расчета для схемы 1.

Исходные данные:

Площадь сечения:

Модуль упругости (Юнга):

Момент инерции:

Массив данных: Условия закрепления: 0 - есть закрепление по данному перемещению, 1 - свободное перемещение.

Связи: ‘’0 - закрепление, 1 – свободно’’

Структура: 1- перемещение по x для первого узла,

2- перемещение по y для первого узла,

3- угол поворота для первого узла

4- перемещение по x для второго узла

5- перемещение по y для второго узла

6- угол поворота для второго узла Процедура вычисляющая длину стержня:

{ne номер элемента, для которого считается длина

Len - длина элемента}

Процедура составляющая глобальную матрицу жесткости:

{ne - номер элемента, для которого считается длина Ans - в конце выводится глобальная матрица жесткости}

вектор перемещений

U - это вектор глобальных перемещений, в котором перемещения всех узлов записаны по порядку. Чтобы интерпретировать полученные результаты, необходимо получить векторы узловых перемещений для каждого из элементов:

Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для первого элемента:

Продольное перемещение

Поперечное перемещение

Угол поворота

Изгибающий момент

Продольная сила

Поперечна сила

Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для второго элемента:

Продольное перемещение

Поперечное перемещение

Угол поворота

Изгибающий момент

Продольная сила

Поперечна сила

Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для третьго элемента:

Продольное перемещение

Поперечное перемещение

Угол поворота

Изгибающий момент

Продольная сила

Поперечна сила

можно сделать о том, что конструкция выдержит заданную нагрузку.

Схема 2

Рисунок 4 - Схема конструкции 2

Данная схема представляет собой стержневую систему с жесткой заделкой и неподвижной шарнирной опорой. Схема является статически неопределимой. Все эти факторы говорят о неудобстве использования МНП в том виде, который использовался при решении задания №1. Однако, можно совместить МНП с методом конечных элементов, которым и воспользуемся при решении задачи. Как было сказано выше, будем использовать метод, совмещающий МНП и МКЭ.

Отметим, что вектор состояния содержит в себе кинематические и силовые параметры. Тогда его можно разбить на 2 части: .

где и.

Тогда естественно будет разбиение матрицы влияния на 4 блока:

где каждый блок несет вполне понятную информацию:

VCC – влияние кинематических параметров на кинематические

VCF – влияние силовых параметров на кинематические

VFC – влияние кинематических параметров на силовые

VFF – влияние силовых параметров на силовые

Влияние распределенных нагрузок также разобьем на 2 части:

- влияние нагрузок на кинематические параметры

- влияние нагрузок на силовые параметры

Тогда векторы перемещений и силовых факторов можно записать в виде:

Запишем полученное первое уравнение для x=L и выразим из него начальные силовые параметры:

Подставим выражение во второе уравнение:

Таким образом, мы выразили силовые параметры через перемещения узлов, что напоминает КЭ-подход.

Перед последующими преобразованиями, отметим, что матрица VFC является нулевой.

Составим вектор силовых параметров в узлах:

, где

Введем также вектор узловых перемещений:

Тогда можно записать следующее уравнение:

, где K – аналог матрицы жесткости, а R – влияние распределенных нагрузок. Приведем их вид:

Определение матрицы жесткости:

- матрица жесткости в локальных координатах

Исходные данные берем из первой задачи: Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для первого элемента:

Продольное перемещение

Поперечное перемещение

Угол поворота

Изгибающий момент

Продольная сила

Поперечна сила

Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для второго элемента:

Продольное перемещение

Поперечное перемещение

Угол поворота

Изгибающий момент

Продольная сила

Поперечна сила

Эпюры внутренних силовых и кинематических факторов для третьего элемента:

Продольное перемещение

Поперечное перемещение

Угол поворота

Изгибающий момент

Продольная сила

Поперечна сила

можно сделать о том, что конструкция выдержит заданную нагрузку.