3 Задача о равновесии прямого стержня постоянного сечения

Рассмотрим преобразования (5)-(7) для случая плоской деформации. Выберем следующий порядок параметров состояния стержня:

. (8)

В (8) опущены индексы, указывающие направления соответствующих векторов. Будем полагать далее, что .

Запишем матрицу модели стержня и вектор распределенных нагрузок для плоского случая, используя (1):

. (9)

Найдем матрицу фундаментальных решений и вектор нагрузок, используя выражение (7) и применив обратное преобразование Лапласа:

. (10)

Рассмотрим некоторые примеры, демонстрирующие применение описанного метода.

Пример 1. Задача о консольной балке постоянного сечения с площадью поперечного сечения и осевым моментом инерции, находящейся под действием равномерно распределенной по длине нагрузки, действующей в направлении осиOY.

Рисунок 2 – Расчетная схема примера 1

Найдем аналитическое решение данной задачи, используя классическую теорию изгиба:

(11)

Произведя вычисления по формулам (11) с учетом граничных условий , получим зависимости кинематических и силовых параметров балки:

(12)

На правом свободном краю стержня получены следующие значения перемещений: . На рисунке 3 изображены кинематические параметры стержня. На левом рисунке показана зависимость перемещения точек оси стержня от продольной координаты, а на правом рисунке показана зависимость угла поворота поперечного сечения от продольной координаты.

Рисунок 3 – Кинематические параметры стержня

На рисунке 4 изображены силовые параметры стержня. На левом рисунке показано распределение перерезывающей силы, а на правом рисунке – распределение изгибающего момента.

Рисунок 4 – Силовые параметры стержня

Найдем решение этой же задачи, используя метод начальных параметров. Запишем вектор состояния в виде (8) для стержня, используя найденную матрицу влияния (10) и выражение (7):

. (13)

Далее, в соответствии с граничными условиями в начале стержня, зададим начальные параметры . Составим систему уравнений для определения оставшихся неизвестных начальных параметров. В конце стержня:

(14)

Из системы (14) получим, что . Подставим найденные начальные параметры обратно в вектор состояния. Получим следующие выражения для параметров состояния стержня:

(15,а)

(15,б)

В задаче задана следующая нагрузка . Для такой нагрузки решение (15,а) и (15,б) примет вид:

(16)

Сравнивая выражения (12) и (16), сделаем вывод о применимости решения, найденного методом начальных параметров.

Пример 2. Задача о балке постоянного сечения с площадью поперечного сечения и осевым моментом инерции, находящейся под действием равномерно распределенной по длине нагрузки, действующей в направлении осиOY. На левом конце балка закреплена неподвижным цилиндрическим шарниром, а на правом конце – горизонтальной катковой опорой.

Рисунок 5 – Расчетная схема примера 2

Произведя вычисления по формулам (11) с учетом граничных условий , получим зависимости кинематических и силовых параметров балки:

(17)

Углы поворота сечения в начале и конце стержня равны. . На рисунке 6 изображены кинематические параметры стержня. На левом рисунке показана зависимость перемещения точек оси стержня от продольной координаты, а на правом рисунке показана зависимость угла поворота поперечного сечения от продольной координаты.

Рисунок 6 – Кинематические параметры стержня

Рисунок 7 – Силовые параметры стержня

На рисунке 7 изображены силовые параметры стержня. На левом рисунке показано распределение перерезывающей силы, а на правом рисунке – распределение изгибающего момента.

Общий вид вектора состояния стержня совпадает с (13). Зададим начальные параметры . Составим систему уравнений для определения оставшихся неизвестных начальных параметров. В конце стержня:

(18)

Из системы (18) получим, что . Подставим найденные начальные параметры обратно в вектор состояния. Получим следующие выражения для параметров состояния стержня:

(19)

В задаче задана следующая нагрузка . Для такой нагрузки решение (19) примет вид:

(20)

Как видно из (17) и (20) решения классическим методом и методом начальных параметров полностью совпадают.