2А). В любой ветви напряжение и заряд на емкости сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются,

начиная именно с этих значений, т.е. u_c(0)=u_c(0-)

В общем случае любая величина (ток, напряжение) в цепи описывается неоднородным дифференциальным уравнением. Режим электрической цепи до начала переходного процесса назовем докоммутационным. Когда переходный процесс заканчивается, наступает принужденный режим. Если в цепи действует источник постоянной или периодически изменяющейся ЭДС, то принужденный режим называют установившимся. Разность переходной и принужденной величин называется свободной величиной.

В соответствии с правилом решения неоднородных дифференциальных уравнений их общее решение равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Свободная величина представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения и в его выражении должны быть постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения.

Принужденная величина представляет собой частное решение неоднородного уравнения и в ее составе не должно быть слагающих свободной величины. Начальными условиями назовем значения переходных токов в индуктивностях и напряжений на емкостях в момент коммутации Иногда эти начальные условия называют независимыми.

Рассмотрим порядок расчета переходных процессов классическим методом, проиллюстрировав его примерами.

ПРИМЕР 1.

В схеме заданной электрической цепи (рис.1) происходит размыкание ключа Кл 1. Определить ток, протекающий в сопротивлении R₂.

Исходные данные для расчета:

R₁ = 100 Ом; R₂=50 Ом; R₃=50 Ом; R₄=25 Ом; C=8,6мкФ; L=25.8 мГн;

e =100 В.

1. Расчёт докоммутационного режима.

Расчетная схема приведена на рис. 2.

В докоммутационном режиме рассчитываются величины и направления токов в индуктивностях и напряжений на емкостях.

Принимая во внимание, что при расчете цепи постоянного тока индуктивность можно заменить перемычкой, а емкость разрывом в

ветви, рассчитаем u_с(0-).

Рис.2

Выберем направления этих величин как показано на схеме рис.2. Сопротивления R₃ и R₄ соединены параллельно. Заменим их эквивалентным сопротивлением R.₃₄

R₃₄=R₃R₄/(R_з+R₄)=50-25/(50+25)=17 Ом;

i₁(0-)=0; i₂(0-)=E/(R₂+R₃₄)=100/(50+17)=1.5А;

u_с(0-)=u_аЬ(0-)=Е-R₂i₂(0-)=100-50∙1,5=25В;

i_з(0-)=u_ab (0-)/R₃=25/50=0,5А.

Следовательно независимые начальные условия таковы:

i_з(0-)=0,5 А; u_с(0-)=25В.

Направления тока i_з(0-) и u_с(0-) показаны на схеме рис.2.

2. Расчет установившегося режима.

Рассчитываются искомые величины в установившемся режиме.

Расчет производится для послекоммутационной цепи после размыкания ключа Кл1 по окончании переходного процесса. Схема послекоммутационной цепи приведена на рис.3.

Рис.3

Снова, принимая во внимание, что при расчете цепи постоянного тока индуктивность можно заменить перемычкой, а емкость - разрывом, получим

i_2y=Е/(R₂+R₃) = 100/(50+50)=1 А.

3. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА.

Расчет производится для послекоммутационной схемы (рис. 3) с учетом независимых начальных условий.

3.1. Записываем искомую величину в переходном режиме в виде суммы установившейся и свободной составляющих, которые соответственно являются частным решением неоднородного дифференциального уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения для искомой величины; i₂=i_2у+i_св=1+i_2св

3.2. Определяем вид свободной составляющей

Вид свободной

cоставляющей определяется корнями характеристического уравнения, описывающего искомую величину.

Составим и решим характеристическое уравнение, для чего наиболее удобно использовать методZ_вх(р)=0, где Z_вх(р) - операторное входное

сопротивление, определенное для схемы свободных токов.

Построив схему свободных токов (рис. 4) и разомкнув какую либо ветвь (например, ветвь 1), найдем входное сопротивление Z_вх{р) относительно полюсов разрыва и приравняем его нулю. Удобнее размыкать ветвь, содержащую емкость. На схеме рис 4 емкости соответствует операторное сопротивление 1/рС, а индуктивности - операторное сопротивление pL.

Характеристическое уравнение получим, приравняв нулю числитель выражения для Z_вх(р):

.

Подставив в это уравнение числовые значения (R в Омах, С в Фарадах, L в Генри), получаем:

33,28-10^-6р² + 1333∙10^-3 р + 100=0.

Корни характеристического уравнения:

p₁= -1000 с^-1, р₂=-3000с^-1.

Заметим, что значения корней всегда должны быть отрицательными. Так как получены действительные и различные корни, то

i₁=1+A₁e^p1t + A₂e^p2t , (1)

где А₁ и А₂ - постоянные интегрирования, которые необходимо найти, используя независимые начальные условия u_с(0-) и i_з(0-).

3.3. Определение постоянных интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования необходимо иметь столько уравнений, сколько корней у характеристического уравнения. Так как в рассматриваемом примере корней два. то необходимо иметь систему двух уравнений, где неизвестными являются постоянные интегрирования А₁ и А₂. Недостающие уравнения получают последовательным дифференцированием по времени уравнения, полученного для искомой величины:

i₂′=p₁A₁e^p1t+p₂A₂e^p2t . (2)

Подставив в уравнения (1) и (2) t=0, получим

(3)

Подставив в систему уравнений (3) значения р₁=-1000 с^-1 и

р₂ = -3000 c^-1 получим

(4)

Чтобы найти значения искомой величины и ее производных при t=0, необходимо составить систему уравнений Кирхгофа, для послекоммутационной цепи, затем последовательно ее продифференцировать по времени столько раз, сколько постоянных интегрирования минус 1 и подставить в полученные системы уравнений t=0.

В рассмотренном примере систему уравнений Кирхгофа необходимо дифференцировать один раз, так как постоянных интегрирования две. Выбрав направление обхода контуров цепи рис. 3, получим:

(5)

Подставляем в (5) момент времени t=0

(6)

Подставляем в (6) числовые значения сопротивлений, ЭДС и величины u_c(0)= u_c(0-)=25В, i₃(0)=i_з(0-)=0,5А, полученные с использованием законов коммутации :

(7)

Решив систему (8), находим:

i₁(0) = 0,333 А, i₂ (0) = 0,833A, и_L(0) = 33,35. (8)

С учетом известных соотношений и можно

определить u^’_с и i^’₃ при t=0, которые будут использованы в дальнейших расчетах :

, (0)/C=0.333/8.6∙10^-6=38720 В/с;

/L; i₃^’(0)=u_L(0)/L=33.35/25.8∙10^-3=1292 А/с.

Далее подставляем в (6) момент времени t=0:

(9)

Подставляем в (9) числовые значения сопротивлений и величины

u_с'(0) = 38720 В/с, i₃(0)= 1292 А/с:

(10)

(10.1)

Решив систему (10), находим требуемую величину i'₂(0)=603 А/с. Подставляем найденные i₂(0)=0,833 А и i'₂(0)=603 А/с в систему уравнений (4) и находим постоянные интегрирования А₁ и А₂ :

А₁ =0,051; А₂ = -0,218.

Следовательно, решение задачи будет иметь вид:

(11)

Следует заметить, что процесс решения задачи сокращается, если необходимо определить переходные ток в индуктивности или напряжение на конденсаторе. В этом случае систему уравнений Кирхгофа не придется дифференцировать. Напряжение на сопротивлении следует искать как произведение R∙i, определив для этого ток i, который по нему протекает.

ПРИМЕР 2

В задаче примера 1 найти напряжение u_L если R₁ = 0.