![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
6
.doc
,
,
где wср,
а — параметры корреляционных функций,
зависящие
от динамических свойств случайных
сигналов.
Дискретизация сигналов. В задачах преобразования сигналов измерительной информации часто возникает необходимость представления непрерывных сигналов дискретными и восстановления сигнала по его дискретным значениям. При этом непрерывный сигнал у (t) представляется совокупностью дискретных значений у (t1), у(t2), ...,y(ti) (рис. 4-6, а, б), по которым с помощью некоторого способа восстановления может быть получена оценка у* (t) исходного непрерывного сигнала у (t).
Процесс преобразования у (t) в у (t1), у(t2), …, у(ti) называется дискретизацией непрерывного сигнала. Наиболее часто применяют равномерную дискретизацию сигналов, при которой интервал времени между двумя соседними отсчетами — шаг дискретизации ∆t=ti+1-ti, остается постоянным.
Восстановление кривой сигнала по дискретным отсчетам осуществляется различными базисными функциями. В качестве таких функций широко применяют различные полиномы, в частности полиномы Лагранжа. Так, на рис. 4-6, о, б показаны исходный сигнал у (t) и восстановленный по дискретным отсчетам сигнал у* (t), полученный на основании применения полиномa Лагранжа нулевой и первой степени. Такое восстановление сигналов называют также нулевой экстраполяцией и линейной интерполяцией.
Качество
приближения у
(t)
и y*(t)
определяется
погрешностью
е (t)
=y*(t)-y(t)-
Однако использование погрешности
(t)
для оценки приближения у (t)
и
у* (t)
на практике оказывается
неудобным вследствие сложной временной
зависимости
(t).
Поэтому
применяют некоторые числовые показатели
приближения,
характеризующие степень близости у
(t)
и y*(t).
В
качестве таких показателей могут быть
использованы: показатель
равномерного приближения
показатель среднего квадратического приближения
,
t
[0,T]
Где
-
максимальное значение модуля погрешности
восстановления
на интервале представления сигнала
0 - T;
-
средняя
квадратическая погрешность восстановления;
при расчетах
часто определяют
-
среднее значение квадрата, или дисперсию,
погрешности восстановления сигнала.
Определим
и
при
восстановлении кривой сигнала полиномами
Лагранжа нулевой (n
= 0) и первой (n=1)
степени. На каждом интервале дискретизации
(ti,ti+1),
ti+1=ti+∆t
имеем:
для п = 0
y*
(t)=;
;
для п = 1
;
где
,
;
;
- первая и вторая производные
у
(t)
в
лагранжевой точке
,
лежащей внутри интервала
дискретизации. Погрешности
определяются
остаточным
членом интерполяционной формулы
Лагранжа.
А. Показатель равномерного приближения. На каждом i-м интервале дискретизации максимальная погрешность аппроксимации может быть оценена неравенствами:
для n = 0
;
для n=1
,
где M1t, M2t - максимальные значения модуля соответствующих производных на i-м интервале дискретизации. В последнем выражении max |τ (τ- ∆t) | =∆t/4 при τ = ∆t/2.
Для оценки максимальной погрешности восстановления по всему времени существования у(t) используется максимально возможное значение модуля соответствующей производной Мi=mах{M1t}, M2=max{M2t}, определяемое по множеству всех интервалов дискретизации. Следовательно, можно записать;
для n = 0
; (4-20)
для n=1
. (4-21)
Полученные выражения позволяют также определять интервал дискретизации при заданной или допускаемой максимальной погрешности ед восстановления. Так,
для n=0
∆t=ед/M1 (4-22)
для
n=1
∆t= (4-23)
Для
нахождения еmax
или ∆t
необходимо
знать M1,
или М2.
Возможны
различные способы определения M1
и Мг.
В
частности можно
воспользоваться неравенством С. Н.
Бернштейна, утверждающим,
что если сигнал у
(t)
ограничен
по модулю некоторым максимальным
значением ут,
т.
е. \у
(t)
|
≤ym,
и имеет ограниченный частотный
диапазон 0 — wmax,
то максимальное значение
производной n-го
порядка ограничено неравенством
следовательно,
M1≤wmaxym;
M2≤w2ym.
Б. Показатель
среднего квадратического приближения.
Среднее
значение квадрата погрешности для
i-го
иитервала
.
Для оценки
приближения y*(t)
по всей
реализации у
(t)
находят усредненное по всем N
интервалам
дискретизации значение квадрата
погрешности
при N
математическое
ожидание згой погрешности
(4-24)
Опуская математические выкладки, для стационарного эргодического случайного сигнала можно записать:
для n = 0
; (4-25)
для n= 1
где р ()
- нормированная корреляционная
функция сигнала,
-
дисперсия сигнала у
(t).
Таким образом,
процедура дискретизации и восстановления
-сигнала на базе полиномов Лагранжа
сопровождается появлением, погрешности,
зависящей, ох степени полинома,
характеристик сигнала [M1;
M2;
p
()]
и интервала дискретизации ∆t.
В общем
случае эта погрешность зависит также
от вида функция, используемой при
восстановлении кривой сигнала.