![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •1. Уравнения первого порядка
- •1.1.Уравнения с разделяющимися переменными и уравнения, приводящиеся к ним
- •1.2. Геометрические и физические задачи
- •Задание 11
- •1.3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
- •Задание 2
- •1.4. Линейные уравнения, уравнения Бернулли и уравнения Риккати
- •Задание 3
- •1.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •Задание 4
- •1.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые решения
- •Задание 5
- •1.7. Существование и единственность решения задачи Коши. Метод последовательных приближений
- •Задание 6
- •2. Дифференциальные уравнения n-го порядка
- •2.1. Методы интегрирования некоторых классов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка
- •Задание 7
- •2.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Задание 8
- •3.1 Матричная экспонента
- •3.2. Формула Коши
- •Задание 12
- •Задание 13
- •Задание 14
- •Библиографический список
1.3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
Функция
называетсяоднородной
степени k,
если
Однородным
называется уравнение, которое может
быть приведено в виду
,
а также уравнение
,
в котором
и
– однородные функции одинаковой степени
однородности. Чтобы решить однородное
уравнение, нужно сделать замену
.
После такой замены получим уравнение
с разделяющимися переменными.
Уравнение вида
приводится к однородному с помощью
замены
,
где
и
являются решением системы
Если определитель
этой системы равен нулю, то уравнение
сразу приводится к уравнению с
разделяющимися переменными заменой
.
Пример 1.
Решить уравнение
Решение. Приведем уравнение к виду
Выполним замену
.
После
преобразований и разделения переменных
получим
.
Возвращаясь к
исходным переменным, будем иметь
.
Это общий интеграл исходного уравнения.
Заметим, что при разделении переменных
могли быть потеряны решения
.
Непосредственная проверка показывает,
что это действительно решения уравнения
.
Поэтому
и
– решения исходного уравнения, не
входящие в найденный общий интеграл.
Пример 2. Решить
уравнение
.
Решение.
Уравнение приводится к однородному
заменой
,
где
и
являются решением системы
Итак, выполним
замену
Получим однородное уравнение
Полагая в этом уравнении
,
последовательно получим
Так как
обращается в ноль при
и
,
то функции
и
– решения дифференциального уравнения.
Остальные решения уравнения найдем,
разделяя переменные
Возвращаясь к исходным переменным, получим
–общий интеграл
уравнения.
Функциям
и
в переменных
и
соответствуют решения исходного
уравнения
и
.
Решение
содержится в общем интеграле и получается
из него при
Задание 2
Решить уравнение. Найти общее или частное решение.
1.4. Линейные уравнения, уравнения Бернулли и уравнения Риккати
Линейным называется уравнение вида
(1.5)
где
и
– заданные непрерывные функции. Уравнение
вида
(1.6)
называется уравнением Бернулли.
Уравнения (1.5) и
(1.6) могут быть проинтегрированы с
использованием одного и того же приема
(метода Бернулли), который состоит в
следующем: решения уравнений предлагается
искать в виде произведения двух
дифференцируемых функций
.
Подставляя выражения для
и
в левые части уравнений (1.5) или (1.6),
получим соответственно
(1.7)
В качестве функции
возьмем какое-либо решение уравнения
Например,
Подставив найденное значение
в (1.7), получим уравнение для отыскания
функции
.
Уравнением Риккати называется уравнение вида
(1.8)
где
,
,
– заданные непрерывные функции.
Заметим, что при
уравнение (1.8) является уравнением
Бернулли.
Если известно
частное решение
уравнения Риккати, то подстановкой
. (1.9)
где
– новая неизвестная функция, уравнение
(1.8) приводится к уравнению Бернулли.
Частное решение
,
как правило, ищется подбором, чтобы
будет продемонстрировано в приведенном
ниже примере 3.
Пример 1. Найти
решение уравнения
,
которое остается ограниченным при
.
Решение.
Решение уравнения ищем в виде
.
Имеем
Пусть
– решение уравнения
Например,
Функцию
найдем из уравнения
,
или
.
Тогда
Для ограниченного
при
решения имеем:
Тогда
Значит,
Итак, искомое решение имеет вид
Пример 2.
Решить уравнение
Решение.
Запишем уравнение в виде
Полученное уравнение является уравнением
Бернулли , в котором роль независимой
переменной играет
.
Решение этого уравнения будем искать
в виде
Подставляя в уравнение, получим
.
Функцию
найдем из уравнения
Для отыскания функции
получим уравнение
Итак,
– общее решение уравнения. Заметим, что
функция
также является решением этого уравнения.
Пример 3.
Решить уравнение
.
Решение.
Будем искать частное решение в виде
.
Подставляя
в уравнение, получаем
или
.
Полагая
,
приходим к уравнению Бернулли
.
Сделав замену
,
получим
.
Функцию
найдем из уравнения
Для отыскания функции
получим уравнение
Значит,
– общее решение уравнения.