Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю.

Проверка равенства математического ожидания остаточной компоненты нулю осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. Такая проверка осуществляется если остаточная компонента распределена по нормальному закону.

Расчетное значение t-критерия Стьюдента определяется по формуле:

где— среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности;

— среднеквадратическое отклонение для последовательности остатков.

Если расчетное значение t-критерия меньше табличного значения t_α статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости α и числом степеней свободы n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания уровней ряда остатков принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.

Независимость значений уровней случайной компоненты. Если систематические компоненты подобраны неправильно, то последовательные значения остаточной компоненты могут коррелировать между собой, в этом случае говорят, что существует автокорреляция остатков. Существуют различные критерии проверки отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности. Наиболее распространенными являются d-критерий Дарбина–Уотсона и критерий на основе первого коэффициента автокорреляции.

При установлении наличия автокорреляции по критерию Дарбина–Уотсона вычисляется d-значение:

Первый коэффициент автокорреляции связан с d-значение через соотношение . Из этого выражения видно, что d-значение может принимать значения от 0 до 4. При коэффициенте автокорреляции близком к 1, что означает высокую положительную корреляцию, d-значение близко к нулю. При коэффициенте автокорреляции близком к -1, что означает высокую отрицательную корреляцию, d-значение близко к 4. Если коэффициент автокорреляции не сильно отличается от 0 (автокорреляция отсутствует), то d-значение будет близко к 2.

Расчетное значение d-критерия сравнивается с двумя табличными значениями: с верхним d₂ и нижним d₁ критическими значениями статистики Дарбина—Уотсона. Табличные значения d₂ и d₁ зависят от числа наблюдений, числа объясняющих переменных в модели и уровня значимости (приложение 3).

При сравнении расчетного значения d-критерия с табличными d₂ и d₁ возможны следующие случаи:

1. Если расчетное значение критерия d больше верхнего табличного значения d₂, то гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается.

2. Если значение d меньше нижнего табличного значения d_l, то гипотеза отвергается и модель неадекватна.

3. Если значение d находится между значениями d₁ и d₂, включая сами эти значения, то считается, что нельзя сделать вывод по имеющимся данным (значение d попало в зону неопределенности)

4. Расчетное значение критерия Дарбина–Уотсона в интервале от 2 до 4 свидетельствует об отрицательной связи; в этом случае его надо преобразовать по формуле d' = 4 – d и в дальнейшем использовать значение d'.

Критерий Дарбина-Уотсона позволяет определить наличие автокорреляции первого порядка, т.е. автокорреляцию между соседними членами ряда остатков.

Отметим, что критерий Дарбина-Уотсона нельзя использовать для проверки качества модели с лагированными значениями зависимой переменной, например, для моделей авторегрессии.

Первый коэффициент автокорреляции. В случае нахождения критерия Дарбина-Уотсона в зоне неопределенности рекомендуется использовать другие критерии, например, анализ на основе первого коэффициента автокорреляции.

Коэффициент автокорреляции исчисляется как коэффициент корреляции между исходными уровнями ряда и этим же рядом, но сдвинутым вправо на 1 шаг. Формула расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

.

Значения коэффициента находятся в пределах от –1 до +1. Расчетное значение коэффициента автокорреляции сравнивается с критическим (табличным) значением для 5-% уровня значимости (таб. 6.2). Если расчетное значение коэффициента автокорреляции меньше критического значения, то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается. Если расчетное значение коэффициента автокорреляции больше критического значения, то делают вывод о наличии автокорреляции во временном ряде.

Таблица 6.2

Критические значения коэффициента автокорреляции

при уровне значимости α=0,05

Число наблюдений
10 15 20 25 30	0,360 0,328 0,300 0,276 0,257

Если все четыре гипотезы о свойствах остаточной компоненты подтверждаются, то исследуемая модель адекватна и ее можно использовать для анализа и построения прогнозных оценок.

Если модель неадекватная необходимо тщательно проанализировать методику моделирования и, возможно, осуществить выбор и оценку другой математической модели.